对一道初中数学奥赛题的讲解

大罕

 

     题记：我对奥赛涉猎很少，但我深知奥赛数学具有难度，需要技巧。同时我关心的是，如何用口头语言通俗易懂地把它表达出来，如何用条理清晰准确无误的文字语言（含数学语言）把它书写出来。最近我在从事教学活动中，遇到一些数学奥赛问题，我正在作这方面的尝试。

    题目：给定两组数：A组为1,2,3,…,100，B组为1²,2²,3²,…,100²，对于A组中的数x，若有B组中的数y，使x+y也是B组中的数，则称x为“关联数”.那么，A组中这样的关联数有       个.

    讲解：

    首先我们理解题意．

    A组是前100个正自然数，B组是前100个正自然数的平方．

    什么叫“关联数”呢？我们随便挑出B组中的两个数a和b(a>b)，如果它们的差是A组中的数x，那么A组中的这个数x就叫做关联数．

    例如在B组中挑出2²和1²，它们的差：2²-1²＝3，3是A组的数，所以3是一个关联数．

    现在要问：A组中的关联数有多少个呢？

 

    下面开始研究它的解法．

    既然是从B组中挑出两个数，然后相减，那么，如何挑选自然，就成为首要的问题了．

    我们先从最特殊（也是最简单）的情形挑选吧，那就是相邻的两个数：

     2²-1²＝3，

     3²-2²＝5，

     4²-3²＝7，

     …

     49²-48²＝97，

     50²-49²＝99，

    以上我们穷举了相邻两数的所有情形，可以看出A组中的关联数是3,5,7, …，99,共49个．

    我们再在B组中挑选相隔一个数的两个数吧：

     3²-1²＝8＝4×2，

     4²-2²＝12＝4×3，

     5²-3²＝16＝4×4，

     …

     25²-23²＝96＝4×24，

     26²-24²＝100＝4×25，

    以上我们穷举了相隔一个数的两数的所有情形，可以看出A组中的关联数是8,12,16, …，100,共24个．

    接着，我们要考察相隔二个数及更多数的两数的情形．

    如果仍然运用以上的“穷举法”，那可是很麻烦的事情。这个时候，引入数学记号是必须的了，因为数学符号具有一般性。

    从以上过程我们可以想到，令A组中的数x=a²-b²，且y=b²，则x+y=a²，完全符合题意。这里，1≤b

    又由x=a²-b²=(a+b)(a-b)≤100，因a+b、a-b同奇偶，故a+b≥(a-b)+2.

   （注：⑴当我们挑选相邻的两个数时，即若a-b=1。此时，因a+b为奇数，且3≤a+b≤99，于是,a+b可取3,5,7,…,99，共49个值；⑵当我们挑选相隔一个数的两数时，即a-b=2。此时，因a+b为偶数，且4≤a+b≤50，于是,a+b可取4,6,8,…,50，共24个值.）

    当我们挑选相隔二个数及更多数的两数，即a-b≥3时，这时又要分为两种情况加以讨论：

    ①若a-b=奇数，则a+b=奇数，而x=a²-b²≥a+b≥3，归入(1).

    ②若a-b=偶数，则a+b=偶数，而x=(a-b)(a+b)为4的倍数，且a-b≥2，a+b≥4，故x≥8，归入(2).

    综上所述，A组中的关联数共有49+24=73个.

   

    后记：这道题不难．要把它对初中学生讲清楚，首先是帮助他们理解题意，理解成为B组的两数之差应在A组中，这样就为后续的分析开辟了道路；其次是符号的引入，这就可以避免不必要的繁琐的讨论（穷举）；另外，入题时的穷举是非常必要的，大家不是天才，不可能一开始就知道用数学符号抽象地加以讨论．