为什么把诱导公式里的角α视为锐角？

撰文/大罕

诱导公式是将任意角的三角比转化为锐角三角比的公式.诸多公式可用两句话概括：

奇变偶不变，符号看象限。

所谓“符号看象限”，就是在把公式中的角α视为锐角的前提下，看原角所在象限里原三角比的符号。

有一道简单习题，学生做的过程中出现了疑惑：

已知cos(π-α)=3/5，并且α是第三象限角，那么cotα＝             ．

一学生从“α是第三象限角”出发，这样解：

        ∵α是第三象限角，

        ∴-α是第二象限角，

        ∴π-α是第四象限角，

        ∴由cos(π-α)=3/5，得cosα=3/5，

        ∵α是第三象限角，

        ∴ sinα=-4/5

        ∴ cotα＝cosα/sinα=-3/4.

    这道题答案明明是3/4(α是第三象限角,cotα>0)，为什么误为-3/4？

    实际上，应该从已知条件cos(π-α)=3/5出发，运用诱导公式（把α视为锐角，则π-α是第二象限的角，其余弦为负值），可得

        -cosα=3/5，

       ∴cosα= -3/5，

    从而直接可得cotα=3/4.

学生之所以犯错，是因为对诱导公式中的“视α为锐角”不理解，特别是当出现了“α是第三象限角”这一条件的引诱后，就从这个条件出发加以考虑了。

在诱导公式中，为什么视α为锐角？

第一，从公式的推导来看，我们是对任意角α推导其诱导公式的，没有刻意规定α是锐角或某象限的角，例如公式cos(π-α)=-cosα中，α是任意角，这样就具有一般性。但是，我们在记忆诱导公式时，总把α视为锐角，那么选取符号就十分方便了。也就是说，“视α为锐角”是为了便于记忆和使用。

第二，即使从“α是第三象限角”出发，我们照样可以推导出正确的结果来。过程如下：

     ∵ α是第三象限角，

     ∴ 2kπ+π<α< 2kπ+3π/2 (k∈Z, 以下同) ,

     ∴ -2kπ-3π/2<-α< -2kπ-π,

     ∴ -2kπ-π/2<π-α< -2kπ,

     ∴ π-α是第四象限的角，

     ∴  cos(π-α)>0,

    注意到α是第三象限角，cosα<0,

     ∴cos(π-α) = -cosα>0．

    结果是一样的！

    如此折腾，何不把α视为锐角直接得到cos(π-α) = -cosα这一结果？！

    以上推理说明，“视α为锐角”是记忆公式时用的一种手段．

    必须强调的是“视α为锐角”只是在运用诱导公式时才能这样的。在其它情形下，α是（第几象限的）什么角就是什么角。切不可因“视α为锐角” 产生误会。以下的问题值得研究：

    已知cos(75°+α)=1/3, α是第三象限角，求cos(15°-α) +sin(α-15°)的值．

    解：由条件cos(75°+α)=1/3, 运用诱导公式可得

       cos(75°+α)= cos[90°-(15°-α)]=sin(15°-α) =1/3（这里把15°-α视为锐角），

     再由sin(15°-α) =1/3>0,知15°-α在第一、二象限，               ①

      ∵α是第三象限角

      ∴-k×360°-270°<-α< -k×360°-180°,

      ∴-k×360°-255°<15°-α< -k×360°-165°,

      ∴15°-α在第二、三象限，                                      ②

     由①②可知15°-α在第二象限，

      ∴cos(15°-α) +sin(α-15°) ＝cos(15°-α) -sin(15°-α)

      ＝(1-2√2)/3

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