http://images.sg.com.cn/200508/00006795.jpg

焦点弦三角形与等比定理

撰文/大罕

    连接椭圆上任一点与焦点的线段，叫椭圆的焦半径．椭圆上一点的两条焦半径及两焦点连线组成的三角形叫焦半径三角形．此三角形即联系着椭圆的长轴长2a及焦距2c,又具有三角形的一般性质，所以处理问题来十分灵活．请看下例．

    问题：设P为椭圆x²/a+y²/b²=1(a>b>0)上一点，F₁、F₂为焦点，若∠PF₁F₂=75°，∠PF₂F₁=15°，则椭圆的离心率（焦距与长轴长之比）为（  ）．

     A．√2/2       B．√3/2       C．√2/3       D．√6/3

   解：设|PF₁|=r₁, |PF₂|=r₂, 在△PF₁F₂中，由正弦定理，得

       r₁/sin15°=r₂/sin75°,                      ⑴

   由比例式的等比定理和椭圆定义，得

     r₁/sin15°=r₂/sin75°＝(r₁+r₂)/(sin75°+sin15°)=4a/√6 ，       ⑵

(这里用到了sin75°+sin15°=√6/2)

   对⑴两边平方，得

     r₁²/sin²15°=r₂²/sin²75°,

   再次运用等比定理和勾股定理，得

     r₁²/sin²15°=r₂²/sin²75°＝（r₁²+r₂²）/（sin²15°+sin²75°）＝4c²,

(这里用到了sin²75°+sin²15°=1)

   ∴ r₁/sin15°=r₂/sin75°＝2c                                       ⑶

   由⑵⑶可得：

     4a/√6＝2c，

   ∴ 2a＝√6c，

   ∴  c/a=√6/3,

   所以本题选（D）.

（好想好想）