高三数学基础复习 张白渺

第9讲解数列题的常用策略 　2007-8-27

【典型例子】

1、设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，且对所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项，求数列{a_n}的通项公式。（1994年全国高考试题）

2、设A_n为数列{a_n}的前n项和，A_n=(3/2)(a_n-1)，数列{b_n}通项公式为b_n=4n+3。

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若d∈{a₁,a₂,…,a_n…}∩{b₁,b₂,…,b_n…}，则称d为数列{a_n}与{b_n}的公共项。将数列{a_n}与{b_n}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d_n}，证明数列{d_n}的通项公式为d_n=3²ⁿ⁺¹；（1996年上海高考试题）

3、设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12,S₁₂>0, S₁₃<0。

（1）求公差d的取值范围；

（2）指出S₁,S₂,…,S_n中哪一个值最大，并说明理由。6 （1992年全国高考试题）

4、等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）。

（A）130； （B）170； （C）210；（D）260。（1996年全国高考试题）

5、设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和，证明[（lgS_n+lgS_n+2）/2]_n+1。（1995年全国高考试题）

6、是否存在常数a,b,c，使等式12²+23²+…+n(n+1)²=n(n+1)(an²+bn+c)/12对一切自然数都成立，并证明你的结论。（1989年全国高考试题）

7、若a>b>2，那么ab,a+b,b/a,a-b是否可依某个次序组成等比数列？若能，求出a,b的值；若不能，说明理由。 A=4,b=3（1995年咸阳市高考诊断试题）

8、设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S=-ba_n+1-1/(1+b)ⁿ，（其中b是与n无关的常数，且b≠-1）。试写出用n和b表示a_n的表达式。（1987年全国高考试题）

9、已知等比数列{a_n}的首项a₁>0，公比q>-1且q≠0，设数列{b_n}的通项b_n =a_n+1+a_n+2，数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别记为A_n,B_n，试比较A_n与B_n的大小。（1989年上海高考试题）

【训练思考】

10．在数列{a_n}中，a₁=1,a₂=2,，且a_n-a_n-1=1+(-1)ⁿ，则S₁₀₀=

11．设平面内有n(n>2)条直线，其中有且两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n>4时，f(n)=

12．已知数列{log₂(a_n-1)}为等差数列，且a₁=3，a₃=9，①求数列{a_n}的通项公式；②证明[1/(a₂-a₁)]+ [1/(a₃-a₂)]+ …+[1/(a_n+1-a_n)]<1

13．若公比为c的等比数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n=(1/2)(a_n-1+a_n-2)（）

①求c的值；

②求数列{na_n}的前 项的和

14．设等比数列{a_n}的公比为q，前n项Sn>0，

①求q的取值范围；

②设b_n=a_n+2-(3/2)a_n++1，记{b_n}的前项和为T_n，试比较Sn与T_n的大小。

【讲解】

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，求解数列题往往涉及到重要的数学思想方法，对学生的能力要求较高。因此，数列问题成为历年高考的热点内容，本文以高考题为实例，谈谈求解高考数列题的常用策略。

一、化归转化

　　数列问题常可化归为等差（等比）数列或化归为我们熟悉的数列问题去求解；又由于数列的通项公式及求和公式可看成是关于n的函数，因此，也可将数列问题转化成函数问题去解决。

二、整体思维

把数列的复合基本量作为一个整体，列出方程或方程组，统一解之。

三、特殊探测

　　通过对某些特殊情形的观察、探索，猜测出问题的一般结论，然后运用数学归纳法或其它方法加以证明。这种策略是解数列题的常用策略之一。

四、递推探求

　　通过对递推式的研究，以及数列第n项与前n项和的关系，把递推数列问题转化为一般数列的问题。

五、分类讨论

　　对数列进行分类讨论。