加载中…【数学小品】老农分瓜
(2013-09-28 23:02:39)
标签：
数学小品老农分瓜互相不断调整最终大家一样多校园 |
分类： 中学数学答疑室 |
【问题】三个老农分204个瓜，每个老农得的瓜数是他们三年前的岁数。假如岁数最小的老农把他所分得瓜的一半均分给另外两老农，岁数中等的老农再又把他现在的瓜的一半均分给另两老农，岁数最大的老农再又把他现在的瓜的一半均分给另两老农，这时三个老农有一样多瓜，问：三老农多少岁？
【分析】本问题必须有正整数解，所以瓜的总数应该是24的倍数。今天太晚了，明天继续谈。
按题意可分瓜的总量首先必须是3的倍数。那么我们就先设瓜的总量为M=3n个。
【解】设甲年龄最小，乙次之，丙最大，三年前甲：x，乙：y，丙：z，
x，y，z，也就是第一轮甲、乙、丙分别得到的瓜数，按题意从接下去的第二轮起有三轮互相调整的过程：
第二轮甲：x/2，乙：x/4+y，丙：x/4+z；
第三轮甲：x/2+(x/4+y)/4=9x/16+y/4，
乙：(x/4+y)/2=x/8+y/2，
丙：x/4+z+(x/4+y)/4=5x/16+y/4+z；
第四轮甲：9x/16+y/4+(5x/16+y/4+z)/4=41x/64+5y/16+z/4，
乙：x/8+y/2+(5x/16+y/4+z)/4=13x/64+9y/16+z/4，
丙：(5x/16+y/4+z)/2=5x/32+y/8+z/2；
据题意41x/64+5y/16+z/4=13x/64+9y/16+z/4=5x/32+y/8+z/2=n…………【★】，
解得x=n/2，y=7n/8，z=13n/8，人的年龄习惯上都是正整数，特别是年纪足够大的人。
本问题有没有正整数解取决于n是否是8的倍数，即
M是不是24的倍数，原题M=204不是24的倍数，所以无解。
假如 这 是个24的倍数，可解得x=40，y=70，z=130。即三个老农今年分别43岁，73岁，133岁。
假如
假如
【解法二（还原法）】对此类问题，还原法是非常有效的方法。如果按原数据，总共有204个瓜，按题意
第四轮甲、乙、丙都是68个，再逐渐往前追溯还原，知……
第三轮甲34个、乙34个、丙136个；
第二轮甲17个、乙68个、丙119个；
第一轮甲34个、乙59.5个、丙110.5个。就明显地发现数据不对，有问题。
喜欢
0
赠金笔
前一篇：中学数学答疑：求多元函数最小值