中学数学答疑：求多元函数最小值_山路水桥

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中学数学答疑：求多元函数最小值

(2013-09-27 22:23:24)

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分类：中学数学答疑室

【问题】已知x、y∈R,求u(x,y)＝x^2+(81/x^2)-2xy+(18/x)√(2-y^2)的最小值。

【解】令x=-S，y=-P，则

u＝S^2+(81/S^2)-2SP-(18/S)√(2-P^2)=[(9/S)-√(2-P^2)]^2 + (S-P)^2-2=(S-P)^2 +(T-Q)^2-2

其中T=9/S，Q=√(2-P^2)，问题就等价于双曲线ST=9与圆P^2+Q^2=2之间的最近距离。根据对称性，就只考虑第一象限的情况。

显然，双曲线ST=9上（3,3）点到圆上(1,1)点的距离最近，即S=3，P=1时，也就是x=-3，y=-1时，有

u|min=6

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