轴对称翻转和伸缩变换的综合题_山路水桥

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轴对称翻转和伸缩变换的综合题

(2013-08-10 20:37:05)

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分类：中学数学答疑室

【问题】已知x、y∈[-π/4,π/4],a∈R,且满足：x^3+sinx-2a＝0，4y^3+sinycosy+a＝0。

求cos(x+2y)的值。

【来源】http://iask.sina.com.cn/b/22209751.html

【解答】①设f(u)=u^3+sinu，则在[-π/4,π/4]上f'(u)=3u^2+cosu＞0，f(x)在[-π/4,π/4]上单调增加。

②题意可知f(u)=2a有解，根据单调性可知解唯一，即v=f(u)与u轴有唯一交点(x,0)。

③由题意可知y是方程4u^3+sinucosu+a＝0的解，

而 4u^3+sinucosu+a＝0 ===> 8u^3+2sinucosu+2a＝0，可知y是方程f(-2u)=2a的解，所以x=-2y。

④由于 x+2y=0，所以cos(x+2y)=1。

【注】这题本质是将曲线v=f(u)以v轴为中心轴翻转（轴对称变换）后再伸缩变换。

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