中学数学：两方程实根之和_山路水桥

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中学数学：两方程实根之和

(2013-08-10 20:13:17)

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分类：中学数学答疑室

【问题】若α、β满足：α^3-3α^2+5α＝1,β^3-3β^2+5β＝5.求α+β的值。

【来源】http://iask.sina.com.cn/b/22209749.html

【解答】①设f(x)=x^3-3x^2+5x，因为f'(x)=3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2＞0，

所以f(x)在R上严格单调增加，

②由于f(x)=c至少有一个实数根，而f(x)在R上严格单调增加，

所以方程f(x)=1和f(x)=5分别有唯一的实根α和β。亦即曲线y=x^3-3x^2+5x-1与x轴有唯一的交点P(α,0)；曲线y=x^3-3x^2+5x-5与x轴有唯一的的交点Q(β,0)。

③曲线y=x^3-3x^2+5x-1=f(x)-1关于M(1,0)点为中心对称的图形是y=-[f(2-x)-1]=x^3-3x^2+5x-5，

④由于P(α,0)关于M(1,0)点中心对称的点就是(β,0)，所以 α+β=2。

【注】这是一道比较综合性的题，用到的概念主要有：函数单调性；唯一实数根；两曲线的对称中心……

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