空间曲线的投影问题_山路水桥

个人资料

微博

正文字体大小：大中小

空间曲线的投影问题

(2013-08-07 17:08:18)

标签：

分类：高数考研答疑室

【问题】怎么从方程组2x^2+4y+(z-2)^2 =4，x^2-8y+3(z-2)^2=12里把z消去？

【分析与解】本问题不仅仅是一个方法问题，而且还有一个答案问题，而答案并不是五六句话能讲得清的。

记①2x^2+4y+(z-2)^2 =4，②x^2-8y+3(z-2)^2=12。最粗糙的感觉“似乎”非常简单，加减消去法即可实现：3×①-②，即可得x^2+4y＝0。

但这只是开了一个头，答案远远不是这么回事。

问题的本质是求空间曲线C在xoy坐标面上的投影曲线，那么投影曲线C':x^2+4y＝0(z=0)是不是一条完整的抛物线？这是问题的最复杂部分。

不是的，从①我们已经可以得到y≤1，从②我们已经可以得到y≥-1.5，所以空间曲线本身的范围就是 -1.5≤y≤1。

现在的关键就是求空间曲线C上y的最大值和最小值。

①和②都是以直线{x=0，z=2}为中心轴的椭圆抛物面，分别以(0,1,2)、(0,-1.5,2)为顶点，一个开口向左，一个开口向右.

因为两个椭圆抛物面除了关于平面x=0对称外，还关于平面z=2对称。所以空间曲线C也是既关于平面x=0对称外，还关于平面z=2对称。

在空间曲线C的方程组里代入x=0，解得空间曲线C上两点(0,0,0)、(0,0,4)；

在空间曲线C的方程组里代入z=2，解得空间曲线C上两点(2,-1,2)、(-2,-1,2)。

【答案】从方程组2x^2+4y+(z-2)^2 =4，x^2-8y+3(z-2)^2=12里消去z得到

x^2+4y＝0，－1≤y≤0

【注】在对于“求空间曲线C上y的最大值和最小值”原理搞清后，

我们从①、②消去z得到x^2+4y＝0即可肯定y≤0(等号在x=0，z=0或x=0，z=4时取得)；

我们从①、②消去x得到4y＝(z-2)^2-4即可肯定y≥-1(等号在x=-2，z=2或x=2，z=2时取得)。

阅读┊ 收藏 ┊ 喜欢 ▼ ┊打印┊举报/Report