高中数学：求二元二次式的最小值_山路水桥

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高中数学：求二元二次式的最小值

(2013-08-08 12:19:34)

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分类：中学数学答疑室

奥数就是创造“用铁锹和铲子来开采石油”的奇迹

【问题】求a^2+2ab+2b^2+4a+5b的最小值。

【出处】http://iask.sina.com.cn/b/22208166.html

【解法一】因为a^2+2ab+2b^2+4a+5b=(a+b+2)^2+(b+1/2)^2-17/4≥-17/4，

所以当a+b+2=0，b+1/2=0，即a=-3/2，b=-1/2时，a^2+2ab+2b^2+4a+5b有最小值-17/4。

【解法二】因为a^2+2ab+2b^2+4a+5b=(1/2)(a+2b+5/2)^2+(1/2)(a+3/2)^2-17/4≥-17/4，

所以当a+2b+5/2=0，a+3/2=0，即a=-3/2，b=-1/2时，a^2+2ab+2b^2+4a+5b有最小值-17/4。

【注解】本题如果利用高等数学方法，将是最基本的最简单的。

　　但是中学教学和奥数老师要求的就是“用铁锹和铲子来开采石油”创造奇迹。那么我也就违心地随俗一下，“表演”一下“用铁锹和铲子来开采石油”创造出来的“奇迹”。哈哈！

　　奥数是只讲技巧不讲原理的，真要我讲原理？有可奉告：平移（消去一次项）、二次型的正定性、配方（仿射变换，并不一定要作正交变换）、还原就得到“奇迹”般的解法一、二、三……。谁愿意尝试正交变换还有解法Ｎ。

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