加载中…求约束条件下四元函数的上下界
(2013-08-06 20:51:11)
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考研数学多元函数约束条件拉格朗日乘数法校园 |
分类： 高数考研答疑室 |
【问题】求约束条件x、y、z、ω∈R+，且x+y+z+ω＝1下，函数
f(x,y,z,ω)＝(7x+1)^(1/3)+7y+1)^(1/3)+(7z+1)^(1/3)+(7ω+1)^(1/3)
的上下界。
【解】先研究函数f(x,y,z,ω)＝(7x+1)^(1/3)+7y+1)^(1/3)+(7z+1)^(1/3)+(7ω+1)^(1/3)在闭区域x≥0、y
≥0、z≥0、ω ≥0
函数的唯一驻点(-1/7,-1/7,-1/7,-1/7)不在开区域
x＞0、y＞0、z＞0、ω＞0 ，x+y+z+ω＜1}
内。
所以函数的最值肯定在边界上取得，据题意可只需考虑四维空间超五面体的五个超平面边界中的一个超平面x+y+z+ω＝1。
利用拉格朗日乘数法，令
L=f(x,y,z,ω)+λ(x+y+z+ω-1)，
得到拉格朗日函数唯一驻点x=y=z=ω=1/4，λ=-(7/33)*(484)^(2/3)。此时f=2(22)^(1/2)
而超平面x+y+z+ω＝1正方形的四个顶点(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)处函数值均为5。
所以函数f(x,y,z,ω)＝(7x+1)^(1/3)+7y+1)^(1/3)+(7z+1)^(1/3)+(7ω+1)^(1/3)在约束条件x、y、z、ω∈R+，且x+y+z+ω＝1下有可达上确界2×(22)^(1/2)≈5.604078……，有不可达下确界5，即5＜f(x,y,z,ω)≤5.604078……
【注】本题在高等数学视角下太简单乏味。
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