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方程有有理数根的问题

(2013-07-31 21:36:12)
标签:

高考数学

二次方程有有理数根

求参数

校园

分类: 中学数学答疑室
【问题】m为有理数,且方程x^2-3(m-2)x+2m^2-5m+k=0有有理根,求k的值。
问题来源http://iask.sina.com.cn/b/22201175.html    
【解法一】△=[3(m-2)]^2-4[2m^2-5m+k]=m^2-16m+36-4k=(m-8)^2-(28+4k),据题意可知 √△ 必须是有理数。
由于m为任意给定的有理数,所以必须存在有理数p、q,有△=(pm+q)^2。
于是可得 28+k=0,k=-7。
【解法二】对于任意给定的有理数m,方程x^2-3(m-2)x+2m^2-5m+k=0若有两个有理数根,必然是am+b和pm+q,其中a、b、p、q必为有理数。
从而a+p=3,b+q=-6,ap=2,aq+bp=-5,解得a=b=1,p=2,q=-7或者p=q=1,a=2,b=-7,
总之 k=bq=-7。

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