关于最佳购物方案的趣味数学题 

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提问○qianjietoday

回答○山路水桥   

【问题】小明去买东西，两家商店价格一样，但甲店买5送一，乙店买4个及4个以上打85折，问小明买N(N≥6)个，怎么最合算? (不规定要在同一个商店买)。

【分析】两家店标价一样，假定都是每件一元（这不会影响到二者之间的比较），但优惠方式不一样，从本质上说甲店购物的优惠比较大。乙店是85%（折扣），而甲店基本可算是83.33%（折扣）。
　　例如，同样购买120件，在甲店只要花100元就可以购买到，但是在乙店却要花102元才可以购买到。
　　但是甲店的规定比较死板，如果Ｎ不是6的倍数，那么“余数”是不能打折的，这样最佳购物方案就不应该全在甲店购买。 

【解答】
①（红字为最佳方案）
当N=6时，【到甲店买需付5元】，到乙店买需付5.1元；
当N=7时，到甲店买需付6元，【到乙店买需付5.95元】；
当N=8时，到甲店买需付7元，【到乙店买需付6.8元】；
当N=9时，到甲店买需付8元，【到乙店买需付7.65元】；
当N=10时，全部到甲店买需付9元，全部到乙店买需付8.5元，【到甲店买6件需付5元，到乙店买4件需付3.4元，共需付8.4元】；
当N=11时，【到甲店买6件需付5元，到乙店买5件需付4.25元，共需付9.25元】；

②已经很有规律了，以下不再做详细分析比较了。
按照 【N=6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5】六个数分一组：

当N=12时，【全部到甲店买，需付10元】；
当N=13时，【6件到甲店买，7件到乙店买，需付10.95元】；
当N=14时，【6件到甲店买，8件到乙店买，需付11.8元】；
当N=15时，【6件到甲店买，9件到乙店买，需付12.65元】。
当N=16时，【12件到甲店买，4件到乙店买，需付13.4元】；
当N=17时，【12件到甲店买，5件到乙店买，需付14.25元】；

当N=18时，【全部到甲店买，需付15元】；
当N=19时，【12件到甲店买，7件到乙店买，需付15.95元】；
当N=20时，【12件到甲店买，8件到乙店买，需付16.8元】；
当N=21时，【12件到甲店买，9件到乙店买，需付17.65元】；
当N=22时，【18件到甲店买，4件到乙店买，需付18.4元】；
当N=23时，【18件到甲店买，5件到乙店买，需付19.25元】；

… … … … … …

【其规律是】k≥1，
当N=6k时，【全部到甲店买，需付5k元】；
当N=6k+1时，【6k-6件到甲店买，7件到乙店买，需付5k+0.95元】；
当N=6k+2时，【6k-6件到甲店买，8件到乙店买，需付5k+1.8元】；
当N=6k+3时，【6k-6件到甲店买，9件到乙店买，需付5k+2.65元】；
当N=6k+4时，【6k件到甲店买，4件到乙店买，需付5k+3.4元】；
当N=6k+5时，【6k件到甲店买，5件到乙店买，需付5k+4.25元】。
 
附注：【严格归纳】并不很困难，每增购6件，应该将增购的6件全部上甲店去买。