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(2010-02-20 22:49:43)
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趣味数学折扣最优购物方案 |
分类： 中学数学答疑室 |
一道趣味数学题
http://iask.sina.com.cn/b/16624258.html
提问○qianjietoday
回答○山路水桥
【问题】小明去买东西，两家商店价格一样，但甲店买5送一，乙店买4个及4个以上打85折，问小明买N(N>=6)个，怎么最合算?
(不规定要在同一个商店买)。
【解答】两家店价格一样，假定每件A元，从本质上说去甲店购物的优惠比较大。乙店是85%（折扣），甲店基本可算是83.33%（折扣） 同样购买120件，在甲店只要花100A元就可以购买，但是在乙店却要花102A元才可以购买到。
但是甲店比较死板，如果Ｎ不是6的倍数，那么“余数”不打折，这样最佳购物方案就不总是全在甲店购买。
【最佳方案】如下：
①
当N=6时，【到甲店买需付5*A元】，到乙店买需付5.1*A元；
当N=7时，到甲店买需付6*A元，【到乙店买需付5.95*A元】；
当N=8时，到甲店买需付7*A元，【到乙店买需付6.8*A元】；
当N=9时，到甲店买需付8*A元，【到乙店买需付7.65*A元】；
当N=10时，全部到甲店买需付9*A元，全部到乙店买需付8.5*A元，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买4件需付3.4*A元，共需付8.4元】；
当N=11时，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买5件需付4.25*A元，共需付9.25元】；
②已经很有规律了，以下不再做详细分析比较了。
按照 【N=6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5】六个数分一组：
当N=12时，【全部到甲店买，需付10*A元】；
当N=13时，【6件到甲店买，7件到乙店买，需付10.95*A元】；
当N=14时，【6件到甲店买，8件到乙店买，需付11.8*A元】；
当N=15时，【6件到甲店买，9件到乙店买，需付12.65*A元】。
当N=16时，【12件到甲店买，4件到乙店买，需付13.4*A元】；
当N=17时，【12件到甲店买，5件到乙店买，需付14.25*A元】；
当N=18时，【全部到甲店买，需付15*A元】；
当N=19时，【12件到甲店买，7件到乙店买，需付15.95*A元】；
当N=20时，【12件到甲店买，8件到乙店买，需付16.8*A元】；
当N=21时，【12件到甲店买，9件到乙店买，需付17.65*A元】；
当N=22时，【18件到甲店买，4件到乙店买，需付18.4*A元】；
当N=23时，【18件到甲店买，5件到乙店买，需付19.25*A元】；
… … … … … …
【其规律是】k≥1，
当N=6k时，【全部到甲店买，需付5kA元】；
当N=6k+1时，【6k-6件到甲店买，7件到乙店买，需付(5k+0.95)*A元】；
当N=6k+2时，【6k-6件到甲店买，8件到乙店买，需付(5k+1.8)*A元】；
当N=6k+3时，【6k-6件到甲店买，9件到乙店买，需付(5k+2.65)*A元】；
当N=6k+4时，【6k件到甲店买，4件到乙店买，需付(5k+3.4)*A元】；
当N=6k+5时，【6k件到甲店买，5件到乙店买，需付(5k+4.25)*A元】。
①
当N=6时，【到甲店买需付5*A元】，到乙店买需付5.1*A元；
当N=7时，到甲店买需付6*A元，【到乙店买需付5.95*A元】；
当N=8时，到甲店买需付7*A元，【到乙店买需付6.8*A元】；
当N=9时，到甲店买需付8*A元，【到乙店买需付7.65*A元】；
当N=10时，全部到甲店买需付9*A元，全部到乙店买需付8.5*A元，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买4件需付3.4*A元，共需付8.4元】；
当N=11时，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买5件需付4.25*A元，共需付9.25元】；
②已经很有规律了，以下不再做详细分析比较了。
按照 【N=6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5】六个数分一组：
当N=12时，【全部到甲店买，需付10*A元】；
当N=13时，【6件到甲店买，7件到乙店买，需付10.95*A元】；
当N=14时，【6件到甲店买，8件到乙店买，需付11.8*A元】；
当N=15时，【6件到甲店买，9件到乙店买，需付12.65*A元】。
当N=16时，【12件到甲店买，4件到乙店买，需付13.4*A元】；
当N=17时，【12件到甲店买，5件到乙店买，需付14.25*A元】；
当N=18时，【全部到甲店买，需付15*A元】；
当N=19时，【12件到甲店买，7件到乙店买，需付15.95*A元】；
当N=20时，【12件到甲店买，8件到乙店买，需付16.8*A元】；
当N=21时，【12件到甲店买，9件到乙店买，需付17.65*A元】；
当N=22时，【18件到甲店买，4件到乙店买，需付18.4*A元】；
当N=23时，【18件到甲店买，5件到乙店买，需付19.25*A元】；
… … … … … …
【其规律是】k≥1，
当N=6k时，【全部到甲店买，需付5kA元】；
当N=6k+1时，【6k-6件到甲店买，7件到乙店买，需付(5k+0.95)*A元】；
当N=6k+2时，【6k-6件到甲店买，8件到乙店买，需付(5k+1.8)*A元】；
当N=6k+3时，【6k-6件到甲店买，9件到乙店买，需付(5k+2.65)*A元】；
当N=6k+4时，【6k件到甲店买，4件到乙店买，需付(5k+3.4)*A元】；
当N=6k+5时，【6k件到甲店买，5件到乙店买，需付(5k+4.25)*A元】。
附注：【严格归纳】并不很困难，每增购6件，应该将增购的6件全部上甲店去买。
【问题】小明去买东西，两家商店价格一样，但甲店买5送一，乙店买4个及4个以上打85折，问小明买N(N>=6)个，怎么最合算?
(不规定要在同一个商店买)。
【解答】两家店价格一样，假定每件A元，从本质上说去甲店购物的优惠比较大。乙店是85%（折扣），甲店基本可算是83.33%（折扣）
同样购买120件，在甲店只要花100A元就可以购买，但是在乙店却要花102A元才可以购买到。
但是甲店比较死板，如果Ｎ不是6的倍数，那么“余数”不打折，这样最佳购物方案就不总是全在甲店购买。
【最佳方案】如下：
①
当N=6时，【到甲店买需付5*A元】，到乙店买需付5.1*A元；
当N=7时，到甲店买需付6*A元，【到乙店买需付5.95*A元】；
当N=8时，到甲店买需付7*A元，【到乙店买需付6.8*A元】；
当N=9时，到甲店买需付8*A元，【到乙店买需付7.65*A元】；
当N=10时，全部到甲店买需付9*A元，全部到乙店买需付8.5*A元，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买4件需付3.4*A元，共需付8.4元】；
当N=11时，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买5件需付4.25*A元，共需付9.25元】；
②已经很有规律了，以下不再做详细分析比较了。
按照 【N=6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5】六个数分一组：
当N=12时，【全部到甲店买，需付10*A元】；
当N=13时，【6件到甲店买，7件到乙店买，需付10.95*A元】；
当N=14时，【6件到甲店买，8件到乙店买，需付11.8*A元】；
当N=15时，【6件到甲店买，9件到乙店买，需付12.65*A元】。
当N=16时，【12件到甲店买，4件到乙店买，需付13.4*A元】；
当N=17时，【12件到甲店买，5件到乙店买，需付14.25*A元】；
当N=18时，【全部到甲店买，需付15*A元】；
当N=19时，【12件到甲店买，7件到乙店买，需付15.95*A元】；
当N=20时，【12件到甲店买，8件到乙店买，需付16.8*A元】；
当N=21时，【12件到甲店买，9件到乙店买，需付17.65*A元】；
当N=22时，【18件到甲店买，4件到乙店买，需付18.4*A元】；
当N=23时，【18件到甲店买，5件到乙店买，需付19.25*A元】；
… … … … … …
【其规律是】k≥1，
当N=6k时，【全部到甲店买，需付5kA元】；
当N=6k+1时，【6k-6件到甲店买，7件到乙店买，需付(5k+0.95)*A元】；
当N=6k+2时，【6k-6件到甲店买，8件到乙店买，需付(5k+1.8)*A元】；
当N=6k+3时，【6k-6件到甲店买，9件到乙店买，需付(5k+2.65)*A元】；
当N=6k+4时，【6k件到甲店买，4件到乙店买，需付(5k+3.4)*A元】；
当N=6k+5时，【6k件到甲店买，5件到乙店买，需付(5k+4.25)*A元】。
①
当N=6时，【到甲店买需付5*A元】，到乙店买需付5.1*A元；
当N=7时，到甲店买需付6*A元，【到乙店买需付5.95*A元】；
当N=8时，到甲店买需付7*A元，【到乙店买需付6.8*A元】；
当N=9时，到甲店买需付8*A元，【到乙店买需付7.65*A元】；
当N=10时，全部到甲店买需付9*A元，全部到乙店买需付8.5*A元，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买4件需付3.4*A元，共需付8.4元】；
当N=11时，【到甲店买6件需付5*A元，到乙店买5件需付4.25*A元，共需付9.25元】；
②已经很有规律了，以下不再做详细分析比较了。
按照 【N=6k，6k+1，6k+2，6k+3，6k+4，6k+5】六个数分一组：
当N=12时，【全部到甲店买，需付10*A元】；
当N=13时，【6件到甲店买，7件到乙店买，需付10.95*A元】；
当N=14时，【6件到甲店买，8件到乙店买，需付11.8*A元】；
当N=15时，【6件到甲店买，9件到乙店买，需付12.65*A元】。
当N=16时，【12件到甲店买，4件到乙店买，需付13.4*A元】；
当N=17时，【12件到甲店买，5件到乙店买，需付14.25*A元】；
当N=18时，【全部到甲店买，需付15*A元】；
当N=19时，【12件到甲店买，7件到乙店买，需付15.95*A元】；
当N=20时，【12件到甲店买，8件到乙店买，需付16.8*A元】；
当N=21时，【12件到甲店买，9件到乙店买，需付17.65*A元】；
当N=22时，【18件到甲店买，4件到乙店买，需付18.4*A元】；
当N=23时，【18件到甲店买，5件到乙店买，需付19.25*A元】；
… … … … … …
【其规律是】k≥1，
当N=6k时，【全部到甲店买，需付5kA元】；
当N=6k+1时，【6k-6件到甲店买，7件到乙店买，需付(5k+0.95)*A元】；
当N=6k+2时，【6k-6件到甲店买，8件到乙店买，需付(5k+1.8)*A元】；
当N=6k+3时，【6k-6件到甲店买，9件到乙店买，需付(5k+2.65)*A元】；
当N=6k+4时，【6k件到甲店买，4件到乙店买，需付(5k+3.4)*A元】；
当N=6k+5时，【6k件到甲店买，5件到乙店买，需付(5k+4.25)*A元】。
附注：【严格归纳】并不很困难，每增购6件，应该将增购的6件全部上甲店去买。
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