胡海给大家出道概率题

 
huhai1967    楼主
学三月给大家出道概率题
我是在一本书上看到这道题的，给不知道的人做做：
某人参加电视竞猜节目，有三个盒子可选择，其中有一个盒中有大奖，另两个没有。此人选好一个盒子后，主持人打开他没选的两个盒子中的一个，发现其中没大奖。此时主持人问该人，要不要重新选择，换另一个没打开的盒子。问：该人应该保留原来所选的盒子，还是换另一个没打开的盒子？
2007-12-16 23:55:00

第2楼
换不换概率都一样吧。
2007-12-17 10:03:00      
 

第3楼
初一看剩下两个盒子的中奖概率都是50%;
不过换个角度想,开始选的盒子中奖概率是1/3,也就是说大奖在另两个盒子里的概率是2/3,当主持人帮忙去掉一个盒子后,应该换另一个盒子.
记得概率学里好象有个先验概率和后验概率的概念,不过学过的东东已经全还给老师了,只能自己瞎推了,按道理说信息多了概率应该可以提高才对.
2007-12-17 10:53:00      
 

第4楼
应该换?另外2个盒子总体概率是2/3,已经打开一个盒子,剩下的那个概率高了.呵呵,没太想明白,有点晕
2007-12-17 11:01:00      
 

第5楼
这道题小学的时候在《小学生天地》上看到过类似的，好像也是两边争论的不可开交，谁也说服不了谁。我现在想来，还是应该换。第一次就选中中奖盒子的概率也就是1/3，不会比另外两个盒子有奖的概率高。
2007-12-17 11:31:00      
 

第6楼
我想不用换了
2007-12-17 12:18:00      
 

第7楼
之前中奖概率是1/3,之后概率变成1/2,所以换不换中奖概率都是50%
2007-12-17 12:25:00     

第8楼
电视上看到过这个，假想是100个盒子，先选一个，选中概率1%，主持人去掉剩下99个盒子里的98个，那么剩下那个盒子是中奖的概率是99%
2007-12-17 12:28:00     
 

第9楼
看来这里的高手确实不少。这个题目我在知道答案后都是想了半天才想通。确实如飞龙等所说，应该换的，是概率中的“先验”和“后验”的概念。第一次选中的概率是1/3，剩下的两个中有一个有奖的概率是2/3，排除掉其中一个后，剩下一个的有奖概率就是2/3。所以应该换，概率提高1倍。
2007-12-17 13:43:00     
 

第10楼
不太同意楼上的观点，排除掉其中一个后，两个箱子的有奖概率都变成的50％，不可能说一个变成2/3，另一个不变。
个人观点！
2007-12-17 14:51:00     
 

第11楼
不对吧。前后选择的范围（概率对应的范围）不一样啊。
开始是在3个盒子中选，选中的概率是1/3；后来是在剩下的2个盒中选，选中的概率是1/2；换不换都是50%的选中率！
主持人选中率：
2/3 是剩下的两个中有一个有奖的概率，但主持人只能在这二个盒子选，所以主持人在这个的范围（二个盒子）中的选中率是1/2；而主持人在整个范围（三个盒子）中的选中率是1/2*2/3=1/3（跟选手的概率一样），并不是2/3！
选手的选中率：
当排除掉一个后，这时，剩下一个的有奖概率并不是2/3，而是100%！（针对的范围- - - 二个盒子，其中另一个已被选掉），但此时火星人都知道只有二个盒子有可能中奖，所以选手手中盒子跟剩下的一个盒子的有奖率都是50% 。（针对的范围- - - 可选的二个盒子）
2007-12-17 18:21:00     
 

第12楼
同意10楼bobo观点！
先选的一个盒子跟另外99个盒子组成所有100个盒子！1%的概率是对于100个盒子而言，99%也应该是对应于100个盒子而言。
在去掉盒子的过程中，被讨论的概率的基准范围在越变越小（从100直到2），最后去掉剩下99个盒子里的98个时，剩的一个中奖率是100%*1/（1+1）=50% - - - 而不是 100%*99%=99% ！（这个99%已经变成了50%，因为那98个盒子已经确定被选掉，不确定的只有这二个盒子）
2007-12-17 18:41:00     
 

第13楼
才发现，这个题目的叙述和我记忆的有出入。我记得那个题目是说主持人在剩下的两个当中挑一个没奖的打开（主持人是事先知道哪个有奖哪个没奖的），然后问选手要不要换。
2007-12-17 18:46:00     
 

第14楼
幸运52里面最后抽奖那个环节，李咏会让选手选一个号，然后挨个打开其他的箱子。跟这题有些类似
2007-12-17 18:59:00     
 

第15楼
用凯利方程式就知道了。
2007-12-17 20:21:00     
 

第16楼
这么解释吧，把题目转换成：
假设你抱着“一定要换”的想法，你成功的几率是多大？
可能1： 你选来抽到的是奖品（概率1/3),所以换盒子后失败。
可能2： 你原来抽中的是空盒子（概率2/3),换盒子后“必然”成功 （注意"必然“两字，因为主持人帮你排除了所有困难，使之变为”绝对“事件）
所以成功的概率是2/3
正如你所说主持人选中奖品的概率是2/3x1/2=1/3,而第三个盒子是奖品的概率也是一样2/3*1/2，但是主持人揭开盒子的结果已经使第三个盒子是奖品的概率变为2/3*1=2/3,因为主持人的行为已经使一个概率事件变成了一个确定事件。主持人的行为和结果已经对剩下的两个盒子的概率产生影响，所以它们的概率不能用独立事件来判定，可以复习一下独立事件的定义。
2007-12-17 21:31:00     
 

第17楼
请注意：此人选好一个盒子后，主持人打开他没选的两个盒子中的一个，发现其中没大奖。
  假设给盒子编号1，2，3。且此人选了1号盒，主持人打开的是2号盒，发现其中没大奖。难道大奖在1，3号盒的概率不是各半吗？
  假如主持人打开的是3号盒，发现其中没大奖，会对结果有影响吗？
2007-12-17 21:53:00     
 

第18楼
呵呵。据我看的那本书上说数学教授都会答错。
其实我们可以设想：A、B、C三个盒，当你选好A盒后，可能性（1）大奖在A盒中，换了：没奖；（2）大奖在B盒中，主持人打开C盒，换了：有奖；（3）大奖在C盒中，主持人打开B盒，换了：有奖。所以，换的中奖率是2：1。
注意：在（2），（3）两种情况下，主持人必然是打开没奖的盒。相反，如果主持人拿走一个盒，但不打开，问你要不要换剩下的盒，那这时换不换的概率确实是一样的，因为奖品可能在被主持人拿走的那个盒里。
但现在主持人打开了盒，告诉你里面没有，相当于帮你做了选择，把原来他可能拿到奖品的可能性都“给”了剩下的那个盒。
如果还有疑问的话，最好的解决方法就是找朋友一起做个模拟测试，看看是换好还是不换好。

2007-12-17 22:40:00     
 

第19楼
huhai1967，我认为你的计算有误，你的第一种假设和第2，3中假设的并不相同，漏掉了主持人的条件。我的分析如下：
可能性：
1）大奖在A盒中；主持人打开C盒；换了：没奖；
2）大奖在A盒中；主持人打开B盒；换了：没奖；
3）大奖在B盒中；主持人打开C盒，换了：有奖；
4）大奖在C盒中，主持人打开B盒，换了：有奖。
所以，换的中奖率依旧是2：2。
2007-12-17 23:46:00     
 

第20楼
不换中奖概率为1/3，换中奖概率为1/2，答题完毕。
2007-12-18 0:10:00     

第21楼
太老的题目了.
我记得杰克.施瓦格的"股市奇才"2里面有这个问题,山羊和汽车,呵呵.
2007-12-18 0:30:00     
 

第22楼
    huhai，想了一下，先前的想法有问题。你的题目中那个“发现”如果理解为主持人也不确定他选中的盒子的情况（你可以查一下原题描述到底是啥），跟我描述的题目就不一样了。
    如果主持人事先不知道哪个盒子里有奖而打开了其中一个，发现这个盒子里没有奖，那选手换不换概率是一样的。比如说我和你和张主编一起抓阄，你抓了第一个，我抓了第二个，张主编抓了第三个。现在我打开了我手里的阄，里面什么都没有，你会和张主编换么？ 你第一次选中那个有奖的阄的概率是1/3，我选中的概率也是1/3，这时候我打开了我的纸条，问题变成了条件概率事件，在我打开纸条后你中奖的概率是多少？我没中奖的概率是2/3，用你中奖的概率1/3除以我未中奖的概率2/3，你中奖的概率是1/2
    如果主持人事先知道哪个盒子里有奖，那么他在选手选定的一刹那就知道选手是否中奖，然后在这时候从剩下的盒子中打开那个没奖的，选手就应该换盒子。对于选手来说，他一次就选对盒子的概率是1/3，选不中的概率是2/3，在这2/3当中主持人100%确定的拿走了一个没奖的，另一个盒子有奖的概率就变成了2/3。
    即使是做实验，也需要明确主持人到底知道不知道哪个盒子里有奖。我记得的原题是主持人知道
2007-12-18 1:47:00     
 

第23楼
雷蒙，你犯了一个错误，你把主持人打开哪个盒子当成独立随机事件了，而真正的独立随机事件是奖品在A还是B还是C盒子里
2007-12-18 1:52:00     
 

第24楼
我觉得问题的关键是主持人打开盒子前知道答案吗？
如果主持人不知道，那就是等概率事件，不用换。可以假设有3个人每人拿一个箱子，然后依次打开，如果事先不知道哪个箱子有，打开的顺序会影响概率分布么？不会把
如果主持人知道哪个是空的（剩下的2个盒子里必然至少有一个是空的），那么就应该换
2007-12-18 9:05:00     
 

第25楼
建议1月6号见面会时可以做一下，最好再来点奖金刺激一下，哈哈
2007-12-18 9:55:00     
 

第26楼
3个箱子，概率各1/3，打开一个后，剩余的2个各1/2，换不换一样。
    如果认为“应该换，另外2个盒子总体概率是2/3,已经打开一个盒子,剩下的那个概率高了”是只把打开的一个的概率全算到剩余的一个上了，正确的作法应该把打开的那一个的概算分摊到剩余的2个上。
    这是典型的把简单问题复杂化的例子。
2007-12-18 11:35:00     
 

第27楼
有道理,换一种说法,有100个盒子,你挑了一个,其他的99个打开了98个,都是空的,你换不换?我认为在考虑不清楚"条件概率"等问题的情况下,应该换,最起码没有"降低"得奖的概率.
2007-12-18 11:44:00     
 

第28楼
以下是引用waja_2001在2007-12-18 11:35:00的发言：
3个箱子，概率各1/3，打开一个后，剩余的2个各1/2，换不换一样。
     如果认为“应该换，另外2个盒子总体概率是2/3,已经打开一个盒子,剩下的那个概率高了”是只把打开的一个的概率全算到剩余的一个上了，正确的作法应该把打开的那一个的概算分摊到剩余的2个上。
     这是典型的把简单问题复杂化的例子。
----------------------------------------
同意这个观点。争论的焦点在于第一次打开的盒子的概率在其余两个盒子上面如何分配。窃以为等同于让你在剩余两个盒子之间重新选择，这和第一次选择的事件是独立的，所以还是50%，将打开的盒子概率分配到观众没选择的那个盒子上面是不合理的。呵呵。。。
value这里真好玩。。。
2007-12-18 11:49:00     
 

第29楼
支持huhai1967，上海雷蒙，huhai1967在注意里提到“注意：在（2），（3）两种情况下，主持人必然是打开没奖的盒。相反，如果主持人拿走一个盒，但不打开，问你要不要换剩下的盒，那这时换不换的概率确实是一样的，因为奖品可能在被主持人拿走的那个盒里。”
2007-12-18 11:52:00     

第30楼
了解了先验后验的概念后，我想我找到了大家争论的焦点！
下面是BAIDU到的先验后验的概念：
先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的 ，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现
后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，是“执果寻因”问题中的“因” 后验概率是基于新的信息，修正原来的先验概率后所获得的更接近实际情况的概率估计。
先验概率和后验概率是相对的。如果以后还有新的信息引入，更新了现在所谓的后验概率，得到了新的概率值，那么这个新的概率值被称为后验概率
刚开始因为“奖随机在三个盒子中，A B C的中奖率都是1/3，所以B+C的中奖率是2/3.
当主持人选掉B后，我请大家注意因果关系：”主持人选掉B"这个事件发生的原因是因为“奖一定在A或C中”，或者说“奖一定在A或C中”导致了”主持人选掉B"的事件发生！此时将最根本最直接的原因“奖随机在三个盒子中”（先验）修正为“奖随机在二个盒子（A、C）中（后验）。答案是显然的。
大家坚信C的中奖率是2/3的原因是：因为B+C的中奖率是2/3，而主持人选掉了B，所以C的中奖率是2/3-0=2/3，对吧？  选手选的盒子就真的那么卑贱（1/3），主持人没选中的那个盒子真的就那么尊贵（2/3）？
当我们把”主持人选掉B"的事件考虑进来：则 2/3-0=2/3这个等式的含义是 事件发生前B+C的中奖率 - 事件发生后B的中奖率 = 事件发生后C的中奖率 ！大家觉得这个等式有没有问题？
或者我们可以换一个问法：当主持人选中的B盒子中有奖， 此时A C的中奖率是多少？
按照”2/3论“者：（1）C的中奖率是2/3-1=-1/3 （2）A的中奖率是1/3（没变） （3）A+C的中奖率是 -1/3+1/3=0 . 而实际情况中只有（3）是正确的，（1）（2）都是错误的（A、C的中奖率都是0）。  此时选手选的盒子不那么卑贱，主持人没选中的那个盒子也没那么尊贵！
根源在于：事件发生前后必须将最根本的原因进行修正。根本原因是：”奖随机盒子中“。跟主持人没关系，跟选手也没关系。
PS:以上讨论 假设主持人不知道奖在哪个盒子中。（如果知道，主持人直接将有奖的盒子挑出来就好了，选手一分钱也带不回家，何必挑来挑去呢？难道是在逗你玩吗？）
另外这个游戏跟幸运52也不一样。李咏从头到尾都没有权力挑选商标，他做的事只是翻商标牌子而已。幸运观众挑选商标的概率是一定的。以上讨论也不考虑现实中的干扰因素，如主持人/李咏已经知道底牌而对选手/幸运观众做某些暗示，等等。
2007-12-18 12:12:00

第31楼
这个题目跟”独立事件“好像没关系 ，仅仅是选验后验的问题吧
TO:waja_2001   
有时候简单的问题是有复杂的道理的。问题简单，证明它正确不一定简单喔：）
一个这么纯粹的数学问题都引来了这么多的讨论，而现实世界中的事件又有着成千上万的干扰因素，咳，做投资不简单啊。 感叹一下^^^
2007-12-18 12:21:00     
 

第32楼
tonyhlw，你表述的很好，学到了不少知识，谢谢了！
另外，你是学数学的吧？
2007-12-18 12:24:00     
 

第33楼
问楼上，如果主持人知道，而且选出了一个没有奖的盒子打开（主持人显然是故意的嘛），概率改变了么？这时候还要不要换？
2007-12-18 12:26:00     
 

第34楼
这段话没看太明白：
当主持人选掉B后，我请大家注意因果关系：”主持人选掉B"这个事件发生的原因是因为“奖一定在A或C中”，或者说“奖一定在A或C中”导致了”主持人选掉B"的事件发生！此时将最根本最直接的原因“奖随机在三个盒子中”（先验）修正为“奖随机在二个盒子（A、C）中（后验）。答案是显然的。
你后文说的是前提是主持人不知道奖是否在B盒子里，和这儿的”主持人选掉B这个事件发生的原因是因为奖一定在A或C中“矛盾啊
2007-12-18 12:30:00     
 

第35楼
雷：
hehe，我不是学数学的。
只是觉得这个题目怪怪的，前面又有飞龙提到先验后验的字眼，忍不住想控个究竟而已。
《概率论与数理统计》早就还给老师了，昨天刚从网上下载了《概率论与数理统计》浙大第三版 PDF档，准备有时间再重新温习一下。
2007-12-18 12:31:00     
 

第36楼
我们可以把这个问题换一个思考方式，在知道主持人会帮你排除掉一个没奖盒子的情况下，你该怎么选？
2007-12-18 12:35:00     
 

第37楼
以下是引用maoweiyang在2007-12-18 12:26:00的发言：
问楼上，如果主持人知道，而且选出了一个没有奖的盒子打开（主持人显然是故意的嘛），概率改变了么？这时候还要不要换？
--------------------------------------------
即使主持人故意也是一样。
---------根源在于：事件发生前后必须将最根本的原因进行修正。根本原因是：”奖随机盒子中“。跟主持人没关系，跟选手也没关系。
你可以把”主持人故意挑掉B“看成事件！
你要回答的是：”主持人故意挑掉B“与”主持人挑掉B“（事件）对 ”奖随机盒子中“（根本原因）的影响是否是一样的？
应该是一样的吧 ------ 都是使有奖盒子的总数由3个变成2个！但它们对奖的“随机”性没有改变（没有对盒子动手脚）！
以上算不算另外一种解释。
2007-12-18 12:40:00     
 

第38楼
这么说吧，一开始我就知道主持人会挑走一个错误盒子的情况下我肯定要选择一个赢面更大的方案。在我只能确定奖随机在三个盒子中的情况下，既然主持人打开盒子对一开始的奖品分布没有影响，我肯定愿意选两个盒子而不是一个，然后由主持人帮我排除掉一个。
2007-12-18 12:52:00     
 

第39楼
以下是引用maoweiyang在2007-12-18 12:52:00的发言：
这么说吧，一开始我就知道主持人会挑走一个错误盒子的情况下我肯定要选择一个赢面更大的方案。在我只能确定奖随机在三个盒子中的情况下，既然主持人打开盒子对一开始的奖品分布没有影响，我肯定愿意选两个盒子而不是一个，然后由主持人帮我排除掉一个。
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 “一开始我就知道主持人会挑走一个错误盒子的情况下” 这个情况是你假设的！
依这个假设，
2007-12-18 13:04:00     
 

第40楼
 “一开始我就知道主持人会挑走一个错误盒子的情况下” 这个情况是你假设的！
而且这个假设发生在你挑盒子之前。依这个假设，刚开始就要对最根本的原因“奖随机在三个盒子中"进行修正为““奖随机在二个盒子中，同时剩下的一个盒子是空的，而主持人一定会拿到那个空的“ ---- 这是你的假设得到的结果！
我们当一回事后诸格亮：
例如：这时（最开始）设 C是空的  A的中奖率是50%，B的中奖率是50%， C的中奖率是0。
你只能选A或B，因为由你的假设 主持人一定要选C！所以你跟主持人的概率是一样的（你的是50%，主持人的是50%+0）并不像看起来的那样  ------ 主持人比你多一倍的中奖率！
主持人不尊贵，你也不卑微！
所以这是还是先验后验的问题！
2007-12-18 13:13:00     
 

第41楼
你还是没明白我的意思。
“奖随机在两个盒子当中同时剩下的一个盒子是空的“这是你的理解，这个理解跟“奖确定在某个盒子中同时剩下两个盒子是空的“有什么区别?
我们讨论的是主持人特意打开一个空的盒子（注意，这是我的题，和原题不一样），对他来说没有中奖不中奖的问题，你总认为主持人也是想中奖，和前提条件主持人特意打开一个空的盒子不符。
主持人不是随意挑的，他挑选盒子的时候是知道哪个盒子里有奖哪个盒子里没有奖的，所以他的行为在你的选择作出以后是百分之百确定的。
而主持人在特意挑选的时候一定要选没有奖的盒子，这时候还能说奖是在剩下的盒子当中随机分布的么？
2007-12-18 13:36:00     
 

第42楼
上海雷蒙：你列出的四种情况下，A选了两次，就是说，每选择4次的话，会有两次选到A，显然不是随机事件的概率。照这个的排列法的话，B、C也要选两次。
maoweiyang：主持人是不是事先知道不重要，关键是结果如何。假设主持人运气特别好（或者说特别不好），选中没奖的盒子，那和主持人事先知道，打开没奖的盒子，应该是没有区别的。
寇比欧：确实是很老的题目，好几本讲人脑对概率的误判的书里都提到这个例子。我很喜欢这个题目，因为我它对我有很大启发，我想对没看过这题的人，可能也会有启发。
waja_2001/吟游诗人：先让主持人打开一个后，再让选手选，其可能性确实都各是1/2。但这时主持人是在3个里面选1个。而我们这里说的情况，主持人只能在你选好后的盒子里选，是2选1，结果不同。原因可参看下面。
tonyhlw：你说的“卑贱”和“尊贵”的概念很好。先选的盒式确实卑贱，因为它没有经受过考验：主持人不能选它，否则主持人有可能把这个盒子当作没奖的盒子打开。而剩下的盒子确实尊贵，因为它经历了考验：它可能被主持人选中，作为没奖的盒子打开，但却没被选中。
2007-12-18 22:06:00     
 

第43楼
huhai: 我认为主持人是不是事先知道很重要。正如你后面说的“先选的盒子确实卑贱，因为它没有经受过考验”，如果主持人事先不知道，你又凭什么说剩下的那个盒子经受了考验呢？
2007-12-18 22:47:00