为了纪念周5车遇难祸的数学家纳什，昨天的乱弹几何原本课我给孩子们简介了纳什，并提到他的成就纳什均衡。遗憾的是我对博弈论和纳什均衡并不懂，只能举两个例子给孩子们看看，一个是囚徒困境，一个就是这个正反硬币：

　　你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”

　　就我本人来说，能够理解为啥不能用传统的随机概率１:１的关系解决这道题。但是却不知道怎么做，在网上找了解法，也看得二懂二懂的。所以这样的问题只是展示给孩子们，而没有进行讲解。

　　今天放学回家，洋洋说两人都该选择正反面比为３:５，且美女会赢１/８元每次。我倍感诧异。于是他开始讲解起来。

　　首先，设男出正面的概率为x，反面概率为1-x，女出正面概率为y,反面为1-y。

　　那么男的收益函数f(x,y)=3xy+(1-x)(1-y)-2x(1-y)-2(1-x)y。把y看成常数，可整理成x一次函数:

　　f(x)=(8y-3)x+1-3y.

　　这里既然是均衡，那么x的一次项系数应该为0，否则男方就可以提高x的概率来获取更大的收益，所以8y-3=0,得到美女出正面的概率为3/8时达到纳什均衡。这个时候可以算出f(x)=1-3y=-1/8（元）,也就是说当美女选择出正面概率为3/8时，无论男方怎么变，都能确保平均每次获益1/8，这时候对美女最优。

　　同理，可以计算出男方选择出正面概率为3/8时，无论美女怎么变，男方都能确保只输1/8。这时候对男方最优。

　　看完这个解法，答案和网络上查到的正解是一致的，但是我有点疑问，就是这样虽然是均衡了，但是没有证明最优，这样的做法是否严谨？