在泛函分析中，我们知道可数Hilbert空间l^2的单位闭球B（或球面S）不是紧致集。取其标准正交集的集合E={e_k：k=1,2，…}，若B（或S）是紧致集，则E作为其闭子集也应该是紧致集，但E内任意两点的距离都是√2，只要考虑半径小于√2/2的球来覆盖，它就没有有限子覆盖，这是E是紧致集的结论矛盾！事实上，E是有界闭集，但不是紧致集。
再考虑可数积X=×[-1,1]，由Tychonoff定理，X是紧空间。既然紧空间的闭子集一定是紧集，为什么它的单位闭球B不是紧致的呢？事实上，有无限个±1坐标的“顶点”不满足平方收敛条件，这里的可数积不能被赋予l^2的度量。
一般来说，对一簇任意拓扑空间X_i的乘积，我们可以赋予不同拓扑。最常见的有：
1）积拓扑（product
topology）：其开集形如有限个U_k与其余X_i的积，其中U_k的X_k内的开集。
2）箱拓扑（box topology）：其开集形如U_k的积，其中U_k的X_k内的开集。
Tychonoff定理告诉我们，任意一族紧空间的积是紧空间，但这是对积拓扑而言的。积拓扑形式上有无限个指标，但起实际作用的只有有限个，在无限之中选出有限，这就使得Tychonoff定理等价于选择公理（证明参见【2】）！
如果我们考虑箱拓扑，上面的空间X=×[-1,1]就不是紧致的。可以取U+ = (-1,1]，U-
=
[-1,1)覆盖 [-1,1]，对X的每个分量取正号或负号，就得到了X的一个不可数覆盖，它显然没有有限子覆盖！
在箱拓扑下，E不是X的紧致集。可以考虑（-1/2, 1/2）×…× （-1/2,
1/2）×（1/2, 1] ×（-1/2, 1/2）×（-1/2, 1/2）×…覆盖e_i，其中（1/2,
1]位于第i个坐标分量，当i取遍自然数时，这样的覆盖彼此不相交，因此不能有有限子覆盖。
在积拓扑下，E也不是X的紧致集。可以考虑用（-1/2, 1/2）×…× （-1/2,
1/2）×（1/2, 1] × [-1,1] ×
[-1,1] ×…覆盖e_i，其中（1/2,
1]位于第i个坐标分量，当i取遍自然数时，这样的覆盖依然彼此不相交，因此不能有有限子覆盖。
既然在积拓扑下E不是紧致集，那么它应该也不是X的闭子集。事实上，考虑包含原点0的任意开集U，在积拓扑下除有限个指标为其坐标分量都是上面的空间[-1,1]，这些分量所对应的e_i自然都在U内，因此0无疑就是E的聚点。
一般而言，无穷维空间的几何体都是非紧致的，像Tychonoff定理那样出现紧致是因为有特别设计的积拓扑，它本质上只处理了有限个空间分量，能够保持拓扑空间的很多良好性质，反而是变成了无穷积空间中的默认拓扑。
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