汪林教授编写了好几本数学中的反例书，Strongart教授也准备开一个【数学反例】系列，既是做一点门槛不高的小视频吸引观众，也是在告诉同学们如何进行数学思维，不要被小镇做题家的套路给框住。
反例的英文是counterexample，其中的counter在游戏中喜闻乐见，特指那种打断对方技能的反击，通常都会造成对手的技能反噬，比如伤害增加、僵直时间变长等等。一般来说，这样的counter都是比较精彩的，数学反例就可以理解为数学中的精彩镜头，就像初音篮球的每月666佳球一样。
数学中的反例有广义与狭义之分。狭义的反例指证伪某个命题的例子，此时命题需要被重新修正。比如说，球面上两点之间大圆弧最短，对此命题我们可以给出反例，两点之间几乎绕球一周的大圆弧显然不是最短，大圆弧最短只有在局部才能成立。广义的反例也包括让命题看似不成立的例子，其实是没有注意到命题的某个（可能是隐藏的）条件。比如说，三角形的内角和等于180°，但球面上的三角形内角和就会大于180°，主要是前面的命题有个“在平面内”隐藏条件。显然，广义的反例也可以是精彩的，不管是汪林的反例书，还是Strongart教授的反例视频，都是在广义的意义上讨论反例。
在数学教育中有个说法，检验学生有没有理解某个数学概念，最好的办法就是举例子。如果学生能够找到合适的例子，那就说明他基本上是理解的，哪怕是在表述上还有点不严谨，也不必过于吹毛求疵，总比那种把精确表述背下来囫囵吞枣的好。一般来说，这样找到的例子大都是平凡的，或者是搬运了书上的经典例子，若是能够找到属于自己的精彩反例，那就是一件非常了不起的事情！实际上，找例子就是最基本的数学思维，不需要太多的知识储备，就可以从小镇做题家的框架里跳出来。有些做题家认为只有到前沿才能有创新，多半已经是学废了，就像某些背书家认为只有读原著才能有论证一样傻得可笑。
Strongart教授在大约上大学之前，就找到了一个属于自己的精彩反例，立体几何中直线之间的距离不满足度量空间的三角不等式（参见我的泛函分析视频），比起做题家推崇的那个繁琐的韦东奕不等式，完全可以说是高下自现了啊~
思考题：能不能通过举例子的方式教会学生什么是举例子？
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