拓扑空间X上的预层（persheaf）F定义为：对任何X的开子集U，都对应一个Abel群F（U），同时对任何开子集的包含V≤U，都有限制映射res(U,V)：F（U）→
F（V），满足下列条件：
0）F（∅）=
0
1）res(U,U) =
id_U
2）对开子集的包含W≤V≤U，有：
res(V,W) · res(U,V) = res(U,W)
拓扑空间X上的预层F可以视为X上的开集与包含的范畴到Abel群范畴的反变函子。
给定拓扑空间X上的预层F，若它满足下面两个层公理，则它就是层：
3）（分离公理）对任何开集U的开覆盖{U_i}，若s∈F（U）满足对所有i，s|U_i = 0，则s|U =
0.
4）（粘合公理）对任何开集U的开覆盖{U_i}，若对所有i，有s_i∈F（U_i），满足s_i|U_i∩U_j =
s_j|U_i∩U_j，则存在s∈F（U）满足对所有i，s|U_i = s_i.
下面我们看一下层的例子：
1）流形上的连续函数是层，这是层的最典型例子，请读者自行验证定义中的条件1）- 4）.
2）一般的拓扑空间X上，取F（X）是任何非零Abel群，对任何真开子集U，F（U）=
0，则这样的F是预层，但不满足分离公理。
3）非紧流形上的紧支连续函数是预层，也满足分离公理，但它不满足粘合公理。
4）一般流形上的常值函数是预层，但不是层。我们可以取两个不相交的非空开集U与V，分别取不同的常值，其粘合公理显然也不成立！
5）常值层（constant
sheaf）：对任意Abel群A，在拓扑空间X任何非空开集U上，定义层A_X（U）=
{连续函数f：U→A}，其中A取离散拓扑，这样的层A_X称为X上的常值函数层。若X是局部连通的，则对任何连通开集U，A_X（U）=
A.
我们有专门的技术把预层升级为层，即所谓的层化（sheafification）.
设F是拓扑空间X上的预层，对任何x∈X，可定义F在X处的茎（stalk）为：
F_x = lim(x∈U) F（U）
其极限是包含x的开集按照包含关系的正向极限。
通过预层的茎，有F到其平展层Π(x∈X)
F_x的自然单射，但这里的平展层Π(x∈X) F_x太大，为此要加入局部凝聚条件，定义X上预层F的层化为：
F~ = {(s_x)∈Π(x∈X)
F_x；对任何x∈X，存在x的开邻域U与t∈F（U），使得对所有y∈U，s_y = t_y}
对于函数层而言，层化的结果就是得到所谓的函数芽（germ）.
解析函数在某一点的芽，表现为存在该点的幂级数展开。
这样的层化实际上是函子性的，即对预层的态射f：F→G，可自然诱导其层化的态射f~：F~→G~.
由此可得，若G是层，则预层态射f：F→G可因子化为F→F~→G.
如果我们对一般流形上的常值函数预层作层化，就得到流形局部常值函数组成的层，它被称为该流形上的常值层。
如果系数Abel群A是离散的，比如A=Z，那么流形X上的常值层就是常值层A_X.
对非离散群的情形，我们可以取离散拓扑，把它视为集合层。
设f：X→Y是拓扑空间上的连续映射，可以定义其推出f_*：Sh（X）→
Sh（Y）为：对任何F∈Sh（X），f_*F作用在Y的开集V上为：f_*F（V）=
F（f^(-1)（V））.
常值层的推出未必是常值层。比如包含i：R\{0} →
R，在R\{0}上的Z-常值层F，其推出i_*F在0点的茎为Z⊕Z，而在其他点的茎为Z.
类似，可定义其拉回f^*：Sh（Y）→
Sh（X）为：对任何G∈Sh（Y），f^*G作用在X的开集U上为：f^*G（U）= lim(V≥f(U))
G（V），这里极限取遍包含f（U）的开集V. 特别，当f（U）是开集时，有f^*G（U）=
G（f（U））.
若X是Y的开子空间，则包含映射i：X→Y是拉回是层F∈Sh（Y）在X上的限制F|X.
可以验证，函子f^*左伴随于f_*：对任何F∈Sh（X）与G∈Sh（Y），有同构
Hom_Sh(X)（f^*G，F）=
Hom_Sh(Y)（G，f_*F）
当f为同胚时，这样的伴随是直观的。
若f：X→{x}是常值映射，则对X上的层F，f_*F =
F（X）为整体截面，而对Abel群M，f^*M就是X上的常值层。只要我们把常值层表示为到一点的拉回，就可以得到：常值层的拉回依然是常值层。
流形上的常值层，就是其上由局部常值函数所组成的层，但我们另外还有局部常值层（locally constant
sheaf）的概念。拓扑空间X上的层F是局部常值层，若对任何x∈X，存在X内包含x的开集U，使得F|U是常值层。
局部常值层与拓扑学中的覆盖空间（covering
space）有密切联系，下面假设拓扑空间是良好的，满足局部连通之类的条件。
设p：Y→X是X上的连续映射，对X的开集U，p在X上的截面（section）指连续映射s：U→Y，使得p·s = id_U.
一般书上都是这样定义截面的，但实际上应该把它理解为使得s的像最大的极大截面。
我们可以定义X上的截面层F_Y为：对X的开集U，F_Y（U） = {U上的截面}. 一般流形上的向量束（vector
bundle），可以作为截面层的典型例子。
X上的覆盖空间（covering
space）指满足下面条件的连续映射p：Y→X，对任何x∈X，存在X内包含x的开集U，使得p^(-1)（U）是Y内一组开集U_i的不交并，其中各U_i都同胚于U.
在覆盖空间中，截面可以由其纤维来代表。
下面我们简要说明，X上的覆盖空间一一对应于X上的局部常值层，详见【5】.
给定X上的覆盖空间p：Y→X，其对应的局部截面层F_Y就是局部常值层。反之，给定X上的局部常值层F，考虑其平展空间X_F =
Π(x∈X)F_x，定义p：X_F→X由所有F_x→{x}自然诱导，然后取拓扑：使得对X的任何开集U，截面s∈F（U）自然提升为i_s：U→X_F为开映射。
只要找一个非平凡的覆盖空间，比如p：R→S^1，p（x）=
（cos（2πx），sin（2πy）），就可以得到非常值层的局部常值层。如果空间X是单连通的（它的基本群平凡），其上不存在非平凡的覆盖空间，那么X上的局部常值层一定是常值层。
实际上，这个图像可以推广到一般层的情形：层横过来看是截面，竖过来看就是平展空间（etale
space），详见【4】.
附小诗：望层
横为截面竖平展，
远近高低各不同，
不识层的真面目，
只缘身在几何中。
一般而言，层论大致可以分为三个等级：在几何上做计算的是应用层论，这里在拓扑上讨论的叫做通用层论，后面还有集合逻辑上的专用层论。
扩展阅读：
【1】Bredon G E. Sheaf
theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012.
（层论基础教材，在拓扑学的基础上讨论层，本文主要参考书）
【2】Maxim L.
Intersection Homology & Perverse Sheaves[M]. Springer
International Publishing, 2019.
（相交同调与反常层理论，对层论基础有简明小结）
【3】Iversen B.
Cohomology of sheaves[M]. Springer Science & Business Media,
2012. （层的上同调理论，用层论方法处理代数拓扑的定理）
【4】Wedhorn T.
Manifolds, sheaves, and cohomology[M]. Springer Spektrum, 2016.
（用层论处理拓扑与几何问题，讨论了层的平展空间刻画）
【5】Szamuely T.
Galois groups and fundamental groups[M]. Cambridge University
Press, 2009. （用现代的方法讨论基本群，包括局部常值层与覆盖空间的等价刻画）
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