李代数的Verma模是一类最简单的无穷维模（表示），只有一个自由度最高权向量（极大向量），它一般有来自理想与张量积的两种定义，下面我们结合BGG范畴对其做一些讨论。
取其系数域为复数域C，即所谓的复李代数。
设L是有限维复半单李代数，我们有根空间分解：
L = H ⊕（⊕ (α∈R)L_α）= L^- ⊕ H ⊕ L^+
其中H是L的Cartan子代数且R其对应的根系，L_α是α对应的根空间且L^± =
⊕ (α∈R±)L_α.
取H的基（h_α），各h_α对应正根α∈R+，可以找到e_α∈L^+与f_α∈L^-，与其组成一个sl_2对。
由PBW定理，其万有包络代数为：
U（L）= U（L^+）⊗ U（H）⊗ U（L^-）
我们先看理想定义，对λ∈H*，令I（λ）是由所有e_α与h_α-λ（h_α)1所生成，定义其Verma模为：
V（λ） = U（L）/ I（λ）
当然，我们可以用H*的一组（有限）基{h_i}代替所有的h_α（e_α不变）。
这样定义的L-模V（λ）自然构成左U（L）-模，有极大向量v+=1+I（λ）满足：
e_α.v+= 0，对任何α且h.v+ = λ（h）v+，对任何h∈H （*）
满足条件（*）的模称为有最高权λ的最高权模，Verma模V（λ）是有最高权λ的万有最高权模，即任何权为λ的最高权模都是V（λ）的商模。
接下来是张量积定义，取Borel子李代数B = L^- ⊕ H，B作用在C上定义为：
e_αx=0，e_α∈L^-；hx = λ（h）x，h∈H
这样得到U（B）-模C_λ，定义其Verma模：
V（λ） = U（L） ⊗_U（B）C_λ = U（L^-） ⊗
C_λ
此时，对应的极大向量为：v+=1⊗1.
后面会考虑Verma模V（λ）之间的态射，其背景空间U（L）-模的范畴太大，我们可以引入更精确的BGG范畴O。
定义BGG范畴O是U（L）-Mod的满足下列条件的L-模M组成的完全子范畴：
（O1）M是有限生成的U（L）-模。
（O2）M是权模。
（O3）M是局部U（L^+）-有限的，即对任何v∈M，U（L^+）v是有限维的。
这里权模指可表为权空间的直和的模，即H-半单的模。显然，{Verma模} ≤ {最高权模}
≤ {权模}.
这个范畴O的定义，就是最高权模为模板的：最高权模由最高权向量生成，而最高权的存在正好保证其局部U（L^+）-有限。
BGG范畴O有下面基本性质：
1）它是Noether范畴，还是Artin范畴。
2）它是Abel范畴。
3）它对子商对象以及直和是封闭的。
4）它对有限维空间的张量积是封闭的。
然而，范畴O对一般张量积不封闭。事实上，在sl_2中对权λ与μ，对应Verma模的张量积V（λ）⊗ V（μ）不是范畴O的对象，因为它不是有限生成的U（L）-模。
下面我们看最高权模的性质，设M是最高权为λ，最高权向量为v+的最高权模。
1）M有形如f_1^(n_1)…f_k^(n_k)v+的基，其中各f_i∈L_(-α_i)
，其对应权为λ-Σ(1≤i≤k)n_iα_i ≤ λ.
2）M的所有权空间都是有限维的，且dim M_λ = 1.
3 )
M的子模都是权模，其任何真子模的权＜λ，M的商模都是最高权为λ的最高权模。
4）M有唯一的（真）极大子模与唯一的单商模。这里M的极大子模就是所有真子模的和，它不包括极大向量，因此依然是真子模。
值得注意的是，权为λ所有单最高权模都同构。这里有个非常有趣的证明：若M与N都是权为λ的极大权模，则M⊕N也是，那么M与N都是其单商模，由唯一性得M与N同构。
显然，Verma模V（λ）也都有上述性质，记其唯一单商模为L（λ），则有类似的Schur引理：
dim Hom（L（μ），L（λ））= δ_μλ.
对于Verma模M（λ），还有唯一的单子模。注意M（λ）=
U（L^-）是整环，其子模对应左理想的交非平凡，因此其单子模一定是唯一的。由此出发，可以得到下面结论：
1）任何非零同态V（μ）→ V（λ）都是单射。
2）dim
Hom（V（μ）， V（λ））≤1
3）V（μ）的唯一单子模是Verma模。
更进一步，对权λ，V（λ）= L（λ）iff
λ是反支配的，即对任何正根α，<λ+ρ，α> ∉ Z+，其中ρ是半权和。
对李代数sl2，有
1）V（λ）是单的 iff λ ∉ N∪{0} .
2）若n∈N∪{0}
，则V（n）有极大（单）子模V（-n-2），其商V（n）/ V（-n-2）是（n+1）维单模。
扩展阅读：
【1】Humphreys
J E. Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category
$\mathscr {O} $[M]. American Mathematical Soc., 2008.
（半单李代数表示论的经典参考书，在BGG范畴内讨论最高权模与Verma模，本文主要参考书）
【2】Humphreys J E. Introduction
to Lie algebras and representation theory[M]. Springer Science
& Business Media, 2012.
（李代数与表示论的经典参考书，包括李代数的基础知识，第二十章开始讨论最高权模）
【3】Erdmann K , Wildon M J . Introduction to Lie
Algebras[M]. Springer London, 2006. （李代数入门教材，对Verma模有友好的简单介绍）
【4】Mrudul Thatte. Category O：Verma's Thesis,
2020 （范畴O的小讲义，对Verma模有简明的小结）
【5】Knutson A. MATH 7310 FALL 2010: INTRODUCTION
TO GEOMETRIC REPRESENTATION THEORY[J]. 2010.
（几何表示论的讲义，对范畴O内的理论有深入浅出的介绍）
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