论数学的真理性
(2020-12-11 13:57:54)
有些哲学人喜欢追问数学基础，数学概念的本质是什么，说不清楚好像就和宗教一样了。实际上，这就是世界的有限性，我们的世界是有限的，能多深入一点就不容易了，最后总会遇到说不清楚的地方，但不能因此就把两个说不清楚的东西等价看待。这就像是人和乌龟赛跑，大家都跑不过光，因此也就是差不多的。如果你的光，你可以这么讲，但我们都是人，就是哲学人有时候会用上帝视角。
其实，如果觉得数学问题有点神秘，我们可以用象棋来打比方。象棋中有很多残局，基本上只能这么下，不然就会死掉，难道这不是逻辑推理决定的吗？其中的逻辑规则是什么？有亚里士多德的三段论，一阶逻辑等等，这些逻辑是终极真理的吗？好像都是二值逻辑，不能处理模糊的情况，但没关系，这些逻辑管下棋足够了。一般棋手就棋论棋，不会考虑逻辑方面的问题，这样逻辑规则也影响不到棋局的变化。也就是说，数学基础的不完全确定，不会影响通常的数学结论为真。
数学至少就推理而言，与下棋的推理是类似的，演绎推理的保真性不依赖于逻辑规则的建立。然后，我们看数学的公理，它相当于棋局的建立，这至少可以保证在棋局之内一定为真。接下来的问题就是：依靠公理与逻辑建立的数学系统，为什么可以应用于经验世界呢？主要是我们把经验世界凑成数学的理想形式，但这又何以可能？对此，个人倾向于康德式的解释：来自于主体，也就是说数学至少就其基础而言，应该是先验的，这里先验的部分主要是自然数与空间，它保证了数学可以应用于经验世界。
有些人可能会不满意先验的说法，还要继续追问先验是哪里来的，其实这是另外一个困难的问题。西方人一般用宗教的隐喻绕过去，说是上帝赋予的。当然，我们也有带科学色彩的解答，它就是人脑自带的系统，人脑会把最常见的基础功能设定好，意识就是一个外部的操作界面，自然数与空间的观念就是隐藏的功能模块。当然，这个解释也比较粗略，因为我们对人脑的认识还不够深刻。比起意识的感觉界面而言，先验的数学观念有更大的普适性，相当于计算机的运算程序，其他理性生物只要能与人类交流，就一定也得有这样的程序。
实际上，在数学的发展过程中，对自然数与空间的先验观念有过一定的改造，主要是牺牲一点直观而追求逻辑效力，以适合数学发展的需要。一个成就是通过直角坐标系，把空间也归结为实数，最后归结为自然数。有数学家说：上帝创造了自然数，其余都是人的工作。另一个成就是把数建立在集合的基础上，现当代数学中还有范畴等更深入的基础，这主要是出于数学自身发展的需要，相当于在系统软件上装了一些应用软件。
综上所述，数学哲学中的三个流派对数学的真理性都有一定的解释：形式主义保证了数学在公理系统内部的真实性，直觉主义暗示了公理化的数学对于经验的可应用性，逻辑主义则是对这些公理进行改造，让它更加适合现代数学的发展。
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