PBW定理是李代数中一个重要的定理，其结论简单直观但证明有点麻烦，这里我们用斜多项式环（skew polynomial
ring）的理论，可以很清楚的给出证明的基本思想，并且推出一些相关的结论。
设g是有限维李代数，其万有包络代数指结合代数U = U（g）与单射i：g →
U（g），满足对任何x，y∈g，
i（[x, y]）= i（x）i（y）- i（y）i（x）
并且对此性质是万有的：若还有j：g→V满足上述性质，则存在唯一代数同态φ：U→V，使得j=φi.
由万有性很容易得到包络代数的唯一性，其存在性是可以通过张量积来构造。设V是g的底向量空间，T（V）是其张量代数，记I是所有x⊙y-y⊙x-[x,y]，x，y∈g的元素生成的理想，则其包络代数U（g）可定义为：
U（g） = T（V）/ I
通俗的看，g的包络代数U（g）实际上就是把g中的括号自然展开：
[x, y] = xy - yx
在抽象李代数g中，xy ∈ U（g）一般是没有定义的！
对有典型生成元{e，h，f}的sl2，其包络代数U=U（sl2）的生成关系为：
ef - fe = h，he - eh =2e，hf - fh = -2f
我们将说明这个关系可以通过斜多项式来表示。
下面我们来看斜多项式的概念。设R是环且α是R上的自同构，S=R[x；α]是R上的斜多项式环，若S是R上基为{1，x，x^2，…，}的左R-模，满足条件
xr = α（r）x， r∈R
设R是环且α是R上的自同构，R上的α-导子指可加导子δ：R→R，满足
δ（rs）= α（r）δ（s）+ rδ（s），r，s∈R
加上这样的α-导子δ，可定义R上（带导子）的斜多项式环S=R[x；α，δ]为：S是R上基为{1，x，x^2，…，}的左R-模，满足条件：
xr = α（r）x + δ（r） ， r∈R
我们可以把包络代数U表示为斜多项式的形式，先考虑e与h生成的子代数R，有
R = k[h][e；α]，
其中α（h）= h-2. 然后，同样可得
U = R[f；β，δ]
其中β（h）= h+2，δ（h）= 0；β（e）= e，δ（e）=
-h.
对于这样的斜多项式环，Hilbert基定理也成立：若R是右（或左）Noether的，则S=R[x；α，δ]也是右（或左）Noether的。
由此可得，包络代数U = U（sl2）是Noether的。
PBW定理：若g是李代数，则有单射i：g
→ U（g）.
事实上，若{e_i；i∈I}是g的基，U（g）的基由形如（e_(i_1)）^(a_1)…（e_(i_n)）^(a_n)的单项式构成，其中各下标i_1，…，i_n∈I可排序且各a_i＞0为整数。
对于sl2而言，其包络代数U有基{f^ih^je^k；i，j，k≥0}.
事实上，我们可以先考虑e与h生成的子代数R，由其生成元的交换关系，可得R有基{h^je^k；j，k≥0}，一般情况无非就是再多加生成元而已。
我们可以把f，h，e视为字母（次数为1），使得U成为分次环：U = ⊙U^i.
显然，[U^(i), U^(i)] ≤ U^(i-1)，因此其滤环gr U = ⊙U^i \
U^(i-1)是交换的，它同构于多项式环k[a, b,
c]，其中a，b，c分别为f，h，e的像。这可以视为另一种形式PBW定理的特例：
有的文献上把PBW定理叙述为：Sym（g）= gr U（g），其中Sym（g）表示g上的对称代数。
综上所述，U
= U（sl2）是Noether整环。
扩展阅读：
【1】Goodearl K R, Warfield Jr R B. An introduction to noncommutative
Noetherian rings[M]. Cambridge university press,
2004.（非交换Noether环的入门书，包括本文中所用到的斜多项式理论）
【2】Mazorchuk V. Lectures on
sl2 (C)-modules[M]. London: Imperial College Press, 2010.
（sl2-模理论的参考书，包括其PBW定理的朴素处理）
【3】Humphreys J E. Introduction
to Lie algebras and representation theory[M]. Springer Science
& Business Media, 2012. （李代数与表示论的经典参考书，叙述精炼内容丰富）
【4】Erdmann K, Wildon M J.
Introduction to Lie algebras[M]. Springer Science & Business
Media, 2006. （界面友好的李代数入门书，第十五章简单介绍sl2上的PBW定理）
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