众所周知，有限维单李代数可以通过其根系的Dynkin图来分类，现在对这样的分类稍加改造，就可以作为有限不可约Coxeter群的分类。
我们先从Coxeter群开始介绍。称（W，S）是一个Coxeter系，若W是抽象群，S是W的生成元集，满足对任何s，t∈S，（st）^m(s,t)
= 1，其中m（s，t）=1，若s=t，否则m（s，t）≥2；当s与t无关时，称m（s，t）= ∞.
S的元素称为单反射，其元素个数|S|称为Coxeter系的秩，带有生成元S的W称为Coxeter群。Coxeter群是有限的，若其秩有限且各m（s，t）都有限。
对于有限Coxeter群，我们可以定义其Coxeter图如下：
1）m（s，t）=2时，点s与t不相连，此时s与t是交换的。
2）m（s，t）=3时，点s与t用单线相连。
3）m（s，t）＞3时，点s与t用单线相连，并且标注其重数m（s，t）。
我们可以把生成元集标号为S={s_1，…，s_n}，同时用各下标i来代表s_i.
这样的记号稍加改造，就可以变成有限单李代数中的Dynkin图。Dynkin图中的m（s，t）只能取{2，3，4，6}：当m（s，t）=4时，改成双键；m（s，t）=6时，改成三键；对双键与三键的情形，要画箭头从长根指向短根。
有限Coxeter群是不可约的，若其Coxeter图是连通的。
对称群S_n（n≥2）是不可约的Coxeter群，有标准生成元S={s_1，…，s_(n-1)}，其中各s_i是对换（i，i+1），其Coxeter图是“棍子”A_(n-1).
二面体群D_n也是不可约的Coxeter群，可以表示为S= {a，b}，m（a，b）=
n，其Coxeter图记作I_2（m），有I_2（3）= A_2，I_2（4）= B_2，I_2（6）=
G_2.
由此我们给出抽象根系的概念，有限维向量空间E的有限子集R称为根系，若它满足下列公理：
（R1）R张成E且0∉R.
（R2）若α∈R，则在其倍数中只有-α∈R.
（R3）若α∈R，则反射s_α置换R的元素。
（R4）若α，β∈R，则n_(βα)∈Z.
其中n_(βα) =
2（β，α）/（α，α）称为根系的Cartan数。
事实上，所有这样的Cartan数构成根系Cartan矩阵，它与根系的Dynkin图可以相互转化。
给定α，β∈R，记θ是α与β的夹角，有n_(αβ)n_(βα) = 4cos^2
θ，结合条件（R4），有n_(αβ)n_(βα) ∈
{0，1，2，3}.
1）若θ是钝角，则n_(αβ)＜0，有α+β ∈ R.
2）若θ是锐角，则n_(βα)＞0，有α-β∈R，若β长于α；β-α∈R，若α长于β.
由此出发，我们定义Dynkin图的可允许子集A为：若A由线性无关向量v_1，…，v_n组成，满足条件：
1）（v_i，v_j）= 1，对所有I；（v_i，v_j）≤ 0，若i≠j
2）若i≠j，4（v_i，v_j）^2 ∈ {0，1，2，3}.
可允许子集A决定了所有可能出现的半单李代数g（A）,并且g（A）是单的 iff A是连通的。
下面我们来说明连通Dynkin图G的可能情况，要用到基本估计：若i与j相邻连接，则（v_i，v_j）≤
-1/2.
结构1：G是没有圈的。
若它有圈由v_1，…，v_k，令v=v_1+…+v_k，则由基本估计
（v，v）= n + 2Σ(i＜j)（v_i，v_j）≤ 0 （！）
结构2：G各顶点的次数小于4.
设其顶点v连接v_1，…，v_k，则（v_i，v_j）= 0，若i≠j.
{v_1，…，v_k}内加入v_0构成正交集，满足（v，v_0）≠ 0，则∑(1≤i≤k)（v，v_i）^2 =
1-（v，v_0）^2 ＜1，由基本估计k＜4.
补充：如果v与v_i是多重边，其平方和可按重数计算，因此结果也是成立的。
推论：若G由三重边，则G是G_2.
收缩引理：若可允许图G中有形如A_k的子图（“棍子”），则把此子图视为一点所得到的新图也是可允许的。
设这样的“棍子”顶点依次为v_1，…，v_k，不妨记作l（v_1，…，v_k），令v=v_1+…+v_k，则（v，v）=
1且与“棍子”外面的其他点内积不变（用结构1）。
结构3：由收缩引理，G只能有一个二重边，只能有一个（2-）分支点，并且不能同时有二重边或分支点。
为了得到更加精致的估计，我们需要对各点依下标赋值，让矛盾更加尖锐化。
棍子引理：设G有子图为“棍子”l（v_1，…，v_k），令v=Σ(1≤i≤p)iv_i，则
（v，v）= p（p+1)/2
结构4：若G有双重边，则G为B或C类，或者G = F_4.
考虑“棍子”l（v_1，…，v_p）与l（w_q，…，w_1）通过v_p与w_q之间的双键连接得到的图，令v =
Σ(1≤i≤p)iv_i，w = Σ(1≤i≤q)iw_i，由Schwarz不等式：（v，w）^2 ＜
（v，v）（w，w）得：
p^2q^2/2 ＜ p（p+1)/2 · q（q+1)/2，即（p-1）（q-1）＜
2
不妨p≥q，只能q = 1或者p = q = 2.
结构5：若G有分支点，则G是D类，或者G是E_6、E_7或E_8。
考虑“棍子”l（u_1，…，u_p，z）、l（v_1，…，v_q，z）与l（w_q，…，w_r，z）在共同的z点组成的“叉子”，令u
= Σ(1≤i≤p)iu_i，v = Σ(1≤i≤q)iv_i，w =
Σ(1≤i≤r)iw_i，其单位化向量分别为u_1，v_1，w_1，加入z_0构成正交集，满足（z，z_0）≠ 0.
由此可得，
（z，u_1）^2 +（z，v_1）^2
+（z，w_1）^2 ＜1
用棍子引理代入化简得：
1/（p+1）+1/（q+1）+1/（r+1）＞1
不妨p≥q≥r，有r=1，q=1或2.
此时，若q=1，则p任意；若q=2时，则p＜5.
综上所述，我们得到单李代数根系的基本分类：A_l（l≥1），B_l（l≥2），C_l（l≥3），D_l（l≥4），E_6，E_7，E_8，F_4，G_2.
半单李代数的理论告诉我们，对于上面的每一种可能，确实可以构造出对应单李代数，我们可以在大多数李代数的教材中找到它们Dynkin图（下图来自【1】）。
对Coxeter群（W，S），可定义双线性形式：对任何s，t∈S
B（s，t）= -cos π/m（s，t）
我们有：W是有限的 iff
B是正定的。此时，它就相当于Dynkin图中的内积，当所有的m取值于{2，3，4，6}时，我们就回到了前面Dynkin图的情形。
对于正定连通的Coxeter图，可能出现一般的m重边，我们需要做下列修改：
1）结论2改：若m≥7，则由结构2可得，不会再有其他连接，只能是I_2（m）.
2）结论4改：若m=5，则
（v，w）^2 = tp^2q^2，
其中t=（cosπ/5）^2. 由此可得：
（4t-2）pq + （p-1）（q-1）＜ 2
这里（4t-2）= （√5-1）/2.
不妨p≥q，只能q=1，p=1，2，3.，分别对应I_2（5 )，H_3或H_4.
3）Coxeter图不考虑多重边的方向，B类与C类合二为一。
综上所述，我们可以得到有限不可约Coxeter群的根系分类图（来自【3】）：
扩展阅读：
【1】 Humphreys J E.
Introduction to Lie algebras and representation theory[M]. Springer
Science & Business Media, 2012.
（李代数与表示论的经典参考书，叙述精炼而又深刻，对根系有公理化叙述）
【2】Erdmann
K, Wildon M J. Introduction to Lie algebras[M]. Springer Science
& Business Media, 2006.
（非常适合入门的李代数参考书，叙述朴实友好，对根系有比较详细的讨论）
【3】Humphreys J E. Reflection
groups and Coxeter groups[M]. Cambridge university press, 1990.
（讲Coxeter群理论的参考书，从具体的反射群讲到抽象的Coxeter群）
【4】Elvidge S, Goodwin S. Real
and Complex Reflection Groups[J].
2011.（介绍反射群理论的讲义，对根系有朴实的讨论）
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(2020-04-27 13:31:57) 
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