线性代数群的Jordan分解与矩阵的Jordan标准型是什么关系？下面我们就来讨论一下这个问题。

    先定义矩阵的Jordan块J_r（λ）为对角线为λ，对角性上方为1的r阶矩阵。所谓Jordan矩阵是指Jordan块的有限直和。

    下面看矩阵的Jordan分解：对任何n阶复矩阵A∈M_n，存在可逆矩阵S，使得S^(-1)AS是Jordan矩阵：

           S^(-1)AS = diag[J_n_1（λ_1），…，J_n_k（λ_k）]

其中n_1+…+n_k = n.，各特征值λ_i可能相同。等号右边称为A对应的Jordan矩阵，若不计其Jordan块的排列顺序，则它是唯一的。

    对各Jordan块J_r（λ），我们可以把它分解对角部分D_r = λI_r与上三角部分N_r = J_r（λ）- λI_r之和，这里的D_r与N_r是交换的。实际上，这就是J_r（λ）的Jordan分解，由此可得Jordan矩阵J的Jordan分解，进而推广到任何矩阵A上。

    在处理线性代数群之前，先看一下线性空间的情形。假定基域k是代数闭域，其Jordan矩阵完全可以仿照复数域来操作。

    设V是k上的有限维线性空间，x∈End（V）

   （1）x称为半单的（semisimple），若x在k的代数闭包内是可对角的，这里直接等价于x是可对角的。

   （2）x称为幂零的（nilpotent），若存在n∈N，使得x^n = 0.

   （3）x称为幂单的（unipotent），若x-1是幂零的.

    首先是线性空间上任意线性映射的加法Jordan分解，它一般出现在李代数的理论中，又称为Jordan-Chevalley分解：

    设V是k上的有限维线性空间，x∈End（V），则存在唯一的x_s，x_n ∈ End（V），x_s半单且x_n幂零，使得x=x_s + x_n且x_sx_n = x_nx_s.

    由加法Jordan分解，可以得到可逆线性映射的乘法Jordan分解：

    设V是k上的有限维线性空间，x∈GL（V），则存在唯一的x_s，x_u ∈ GL（V），使得x = x_sx_u = x_ux_s。

    用Jordan标准型来证明Jordan分解，似乎是一件很自然的事情，但几乎所有讲Jordan分解的书中，都没有直接引用Jordan标准型来证明，而是按照类似的模式把证明重写了一遍，这是为什么呢？主要原因是这样可以得到一个附加结论：x_s（因此x_n）是x的多项式。由这个结论可以得到Jordan分解的基本推论：

    1）若W是V的x-稳定子空间，则W是V的x_s与x_n-稳定子空间

    2）（函子性）若φ：V→W与y∈End（W）满足φ·x = y·φ，则φ·x_s = y_s·φ且φ·x_n = y_n·φ. 这个结论可以通过映射的标准满射单射分解V → φ（V）→ W，然后借助（1）得到.

    3）对x∈GL（V），y∈GL（W），有x⊙y = （x_s⊙y_s）（x_u⊙y_u）∈ GL（V⊙W）

    这样的分解可以被自然推广到局部有限的情形。

    接下来看线性代数群中元素的Jordan分解，设G是线性代数群，则对任何g∈G，存在唯一的半单元素g_s∈G与g_u∈G，使得g = g_sg_u = g_ug_s，这样的g_s与g_u分别称为元素g的半单部分与幂单部分。

    令A=k[G]，m：A⊙A→A是乘法。取G的右平移表示ρ：G→GL（A），对任何g∈G，ρ（g）有分解ρ（g）_s与ρ（g）_u.  考虑基本关系：m ·（ρ（g）⊙ρ（g））= ρ（g）· m，有函子性可得：m ·（ρ（g）_s⊙ρ（g）_s）= ρ（g）_s · m与m ·（ρ（g）_u⊙ρ（g）_u）= ρ（g）_u · m. 接下来我们要从表示ρ（g）_s与ρ（g）_u中反演出g_s与g_u，考虑A到k的同态：f→（ρ（g）_sf）（1），其对应元素就是g_s，易知ρ（g）_s = ρ（g_s）. 对g_u有类似结论。

    通过态射的标准满射单射分解，可以得到代数群Jordan分解的函子性：若φ：G→H是代数群的同态，则对任何g∈G，φ（g_s）= φ（g）_s且φ（g_u）= φ（g）_u.  而当G=GL_n时，其作为代数群的Jordan分解与作为线性空间映射的Jordan分解是一致的。

    当基域k不是代数闭域时，Jordan分解可能不存在。比如若k的特征是2，但有元素a∈F\F^2，则二阶矩阵g = ae_21+e_12的半单部分diag[√a，√a]不在群内，因为g没有Jordan分解！

    最后我们看整个代数群的情形。设G是代数群，定义G_s = {x ∈ G；x = x_s}，G_u = {x ∈ G；x = x_u}，分别称为G的半单部分与幂单部分，是不是也有Jordan分解G ≌ G_s × G_u呢？

    实际上，这里有个同时上三角化的问题，一般只有相互交换的矩阵，才能够被同时上三角化。设线性变换A与B是交换的，若x是A的特征向量，则Bx也是A的特征向量，因此它们有共同的特征空间，可以当成一个线性变换来处理。

    这样一来，线性代数群的Jordan分解就只有在交换条件下可以成立。设G是交换代数群，则G_s与G_u都是闭子群，且有代数群同构：G ≌ G_s × G_u. 若G是连通的，则G_s与G_u也是连通的。事实上，由交换性不妨G嵌入上三角矩阵，G_s就是其对角线部分，而G_u是其严格上三角部分。

    对于一般的情形，G_s与G_u甚至可能不是群，比如对G=SL（2，k），由所有元素I+ae_12，a∈G生成的子群就是G！

    扩展阅读：

    【1】Springer T A. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2010. （线性代数群的进阶参考书，高度概括的阐述Jordan分解）

    【2】Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （线性代数群的基础参考书，比较详细的阐述Jordan分解）

    【3】Tauvel P, Rupert W T. Lie algebras and algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2006. （内容丰富的线性代数群参考书，包括加法Jordan分解的证明）

    【4】Santos W R F, Rittatore A. Actions and Invariants of Algebraic Groups[M]. CRC Press, 2017. （高观点的线性代数群参考书，用专章多角度阐述Jordan分解）

    【5】Horn R A, Horn R A, Johnson C R. Matrix analysis[M]. Cambridge university press, 1990. （矩阵理论的基础参考书，包括Jordan矩阵与同时上三角化的内容）