几何群论是一个综合性比较强的数学分支，主要思想是把有限生成的离散群转化为其Cayley图，再通过图度量视为度量空间，然后就可以用度量几何学的方法进行研究，双曲几何、大尺度几何等都有密切联系，还有一个叫做组合群论的兄弟分支。

    假设读者已经了解最基本的群论与图论知识，下文中的群一般指有限生成的离散群。

 

    我们先从群的Cayley图开始。设S是群G的生成元，G关于S的Cayley图指这样的图Cay（G，S），其顶点集是G，边集是{（g，gs）；g∈G，s∈S∪S^(-1)\{1}}. 也就是说，Cayley图中的两个顶点相连 iff 它们对应的群元素相差一个生成元。

    给定群G，G的Cayley图并不是唯一的，它与生成元的选择有关。比如无限循环群Z关于{1}与{2,3}为生成集的Cayley图不是同构的（请读者自己画图，再看{1}与{0}之间的图度量）.

    设F是由S自由生成的自由群，则Cay（F，S）是树。自由群F2的Cayley图是“无限十字树”，可以被选为几何群论封面代言，比如【2】的封面（见下图黑板右侧）。反之，若生成集S没有可逆元素，则由Cay（F，S）是树，可得S是G的自由生成集。这里的条件“S没有可逆元”是不可省的，可以考虑F=Z，S={1，-1}.

  

   更进一步，群G是自由的 iff 它自由作用在某（非空）树上。由此可以证明自由群的Nielsen-Schreier定理：自由群的任何子群都是自由的。这个定理还有组合群论的证明，主要是考虑代数拓扑中的基本群（参见【1】或【6】）。值得注意的是，秩2自由群F_2交换子群是无穷秩的！

   对自由群，我们有下面的乒乓引理：设群G由元素a与b生成，群G作用在集X上，若X有不交非空子集X_a与X_b，满足对任何k∈N，a^k（X_b）≤ X_a且b^k（X_a）≤ X_b，则G同构于秩2的自由群。

   在【2】中对乒乓引理有非常精要的解释：G的任何元素都共轭于a^*b^*a^*…b^*a^*，其中*表示非零指数，但这样的元素映X_b到X_a，也就不能表示单位元1，所以G中不存在任何生成关系！

   由乒乓引理。我们可以得到SL（2，Z）中的自秩2自由子群，它可以由a=I+2e_12与b=I+2e_21生成，只要取X_a ={（x,y）∈R^2:|x|＞|y|},X_b ={（x,y）∈R^2:|x|＜|y|}即可验证。 

 

   下面我们转入一般度量空间的讨论。设f：X→Y是度量空间之间的映射，f称为拟等距嵌入（quasi-isometric embedding），若存在b，c＞0，使得对任何x_1，x_2∈X，有

          c^(-1)d（x_1，x_2）- b ≤ d（f（x_1），f（x_2））≤ cd（x_1，x_2）+ b

特别，b=0时，f称为双Lipschitz嵌入。 

    对双Lipschitz嵌入f：X→Y，若存在双Lipschitz嵌入g：Y→X，使得f·g = id_Y且g·f = id_X，则f称为双Lipschitz等价，也称度量空间X与Y是双Lipschitz等价的。

    对拟等距嵌入f：X→Y，若存在拟等距嵌入g：Y→X，使得f·g与id_Y且g·f与id_X都只相差有限距离，则f称为拟等距的（quasi-isometry），也称度量空间X与Y是拟等距的。

    自然包含Z→R都是拟等距嵌入，由Gauss取整函数可给出其拟等距的逆R→Z；x→[x]，因此它是拟等距等价，但却不是双Lipschitz等价的。由2的数乘给出的映射Z→2Z是双Lipschitz等价，但不是等距映射。

    我们还有这样的等价条件：拟等距嵌入f：X→Y是拟等距的 iff f有拟稠密的像，即存在c＞0，对任何y∈Y，存在x∈X，使得d（f（x），y）≤ c.

   

    度量空间X中的测地线指闭区间[0, L]在X内的等距嵌入。测地度量空间指任意两点都有测地线连接的度量空间。度量空间X称为真的，若对任何x∈X，r＞0，闭球B（x，r）是X的紧子集。

    群G在度量空间X上的作用是真不连续的，若对任何X的紧集K，集{g∈G；gK∩K≠∅}是有限的。G在X上的作用是上紧的，若存在X的紧子集G-变换覆盖X，即对任何给定的x_0∈X，存在R＞0，使得对任何x∈X，存在g∈G，使得x∈B（gx_0，R）。G在X上的作用是几何的，若它是真不连续且上紧的等距作用。

.    下面是关于群与度量空间拟等距的Milnor-Svarc引理：设X是真测地度量空间，G是几何作用在X上的离散群，则G是有限生成的且G拟等距于X. 

    取定基点x_0∈X，取R＞0使得B（x_0，R）的G-平移覆盖X，考虑S={g∈G；B（x_0，R）∩ B（gx_0，R）≠ ∅}，由上紧性S非空，由真不连续性S有限，可以证明：S生成G，映射f：G→X，f（g）= gx_0是拟等距。

    由Milnor-Svarc引理可得“相差有限”的群是拟等距的：设G是有限生成群，则

    （1）若H是G的有限指标子群，则G与H是拟等距的。

    （2）若N是G的有限正规子群，则G与G/N是拟等距的。

    由此可得，几何群论中有限群都可以被视为平凡的。此外，几何群论中更在乎群的虚拟性质（virtually property）. 群G称为有虚拟性质P，若存在G的有限指标子群H，使得H有性质P.

   

    几何群论的要义就是把群视为度量空间，这样我们可以把度量空间的性质推广到群上，其中拟等距不变的性质可以说是处于核心地位，一般被称为群的几何性质。

    先看图的度量。给定连通图G =（V，E），V上的图度量定义为：

            d：V×V→R，d（v，w）= min{n≥0；存在G内长为n的道路连接v与w}

    对于生成集为S的有限生成群G，可定义其词度量d_S为其Cayley图Cay（G，S）的图度量，即对任何g，h∈G

            d_S（g，h）= min{n≥0；存在s_1，…，s_n∈S∪S^(-1)；g^(-1)h = s_1…s_n}

    对有限生成群G，若S与S'都是其生成元，则相应Cayley图Cay（G，S）双Lipschitz等价（因此拟等距）于Cay（G，S'），因此其度量空间（G，d_S）与（G，d_S'）在双Lipschitz等价（因此拟等距）意义上是不变的。

     若群G的Cayley图拟等距于群H的Cayley图，则称群G与群H是拟等距的。

     （1）任何有限群都拟等距于平凡群。

     （2）群Z^n与R^n就是拟等距的，其自然包含映射Z^n→R^n是拟等距等价。

     （3）有限生成群G拟等距于Z iff G是虚拟无限循环群，这叫做群Z的拟等距刚性（quasi-isometry rigidity）.

     （4）对m，n≥2，自由群F_m与F_n是拟等距的。

 

    下面我们看一些群的拟等距不变量，首先是群的增长型（growth type）。

    给定有限生成群G与其生成元S，G关于S的增长函数定义为β：N→N；β_(G,S)（r）= | B（1，r）| ，即Cay（G，S）内与原点e的距离不大于r的顶点数。

    定义增长函数为[0,∞）到[0,∞）上的增函数。给定两个这样的增长函数f与g，称f≤g，若存在b，c＞0，使得对任何r≥0，f（r）≤ cg（cr+b）+b，称f与g等价，若f≤g且g≤f，记作f~g.

    给定有限生成群G与H，其生成元分别为S与T，若有拟等距嵌入G→H，则其增长函数β_(G,S) ≤ β_(H,T). 特别，若G与H是拟等距的，则β_(G,S) ~ β_(H,T).

    G对生成元S的增长型，指其增长函数β_(G,S)的等价类。

    （1）G称为指数增长型的，若β_(G,S) ~ （x→e^x）,比如自由群F_2

    （2）G称为多项式增长型的，若β_(G,S) ~ （x→x^a），a≥0，比如Z^n有增长型（x→x^n）

    （3）G称为中间增长型的，若它不是指数与多项式增长型

    Gromov多项式增长定理：有限生成群G是多项式增长的 iff 它是虚拟幂零的（virtually nilpotent）. 由此可得，有限群与Abel群都是多项式增长的，自由群F_2不是虚拟幂零的。虚拟幂零性是群的拟等距不变量，但幂零性不是。

     

    接下来我们看群的端数（ends），这里我们不讨论一般度量空间，直接从图出发在群上做更简明的处理。

    对局部有限图Γ，定义其端数为：

            e（Γ）= sup{|Γ\C|；C是Γ的有限子图}

对于生成元为S的有限生成群G，自然定义其端数为：e（G）= e（Cay（G，S））.

     对于有限生成群G的端数，我们有Freudenthal与Hopf的定理：有限生成群G的端数只能是0，1，2或∞.

     （1）e（G）= 0 iff G是有限群

     （2）若G是两个无限群的（半）直积，则e（G）= 1

     （3）e（Z）= 2

     （4）e（F_2）= ∞

    可以证明，这样的端数是群的拟等距不变量。 

 

    在无穷远处，我们还可以定义群的渐进维数（asymptotic dimension）.

    对度量空间X，其渐进维数定义为最小数n，使得对任何R＞0，存在R-重数为n+1的一致有界覆盖{U_i}，即对任何x∈X，B（x，R）最多与{U_i}的（n+1）个元素相交，记作asdim X = n. 若不存在这样的n，则称asdim X = ∞.

    这样的渐进维数的保序的：若A是X的子集，则asdim A ≤ asdim X.

    逐渐稀疏的点列，比如X={n^2；n∈N}，其度量由绝对值诱导，有asdim X = 0. 反之，对Banach空间l_p，p＞1，有asdim l_p = ∞

    对于以S为生成元的有限生成群G，其渐进维数自然定义为Cay（G，S）作为图度量空间的渐进维数，它实际上也是拟等距不变量，因此与生成元的选择无关，记作asdim G.

    （1）asdim Z^n = n

    （2）asdim F_n = 1，因为对任何无限树T，asdim T = 1

    （3）对Z的无限直和Z^∞，取其距离为d（x，y）= Σi（x_i - y_i），则asdim Z^∞ = ∞

    

    我们再看群的双曲性（hyperbolicity），它是度量几何学中的基本概念，有很多不同的定义方式。

    先看测地度量空间X中的定义，对δ＞0，X内由测地线组成的三角形称为δ-薄（δ-thin）的，若其任何两边的δ-邻域都包含第三边。测地度量空间X称为δ-双曲的，若其内任何测地三角形都是δ-薄的。

    显然，任何树都是0-双曲的。实数集R是双曲的，但R^2不是双曲的。双曲性的典型例子是双曲平面H^2，在上半平面内取度量ds^2 = （dx^2 + dy^2）/ y^2.

    在一般度量空间中，我们还有双曲性的Gromov定义：给定度量空间X内任意点x，y与w，定义x，y关于w的Gromov积为：

            （x|y）_w = 1/2（d（x，w）+ d（y，w）- d（x，y））

度量空间X称为δ-双曲的，若对X内任意点x，y，z与w，有

            （x|y）_w ≥ min{（x|z）_w，（y|z）_w} - δ

   实际上，这两个定义是等价的，但具体的常数δ不同。若X与Y是拟等距度量空间，则X是双曲的 iff Y是双曲的。它的证明不是平凡的，要用到关于测地线稳定性的Morse引理（参见【1】、【3】等）。

   生成元为S的有限生成群G是双曲的，若其Cayley图Cay（G，S）关于其图度量是双曲的。这样定义的双曲性的拟等距不变量，因此有限生成群G的双曲性与其生成元的选择无关。

   （1）群Z是双曲的，因为它拟等距于R

   （2）群F_2是双曲的，因为其Cayley图是树

   （3）群H^2是双曲的，因为它作为空间是双曲的

   （4）群Z^2不是双曲的，因为它等距于R。更进一步，双曲群不能有同构于Z^2的子群。

   可以证明：双曲群有Dehn表示，因此其词问题可解。

 

    最后，在几何群论有很多专门的群例，比如Baumslag-Solitar群、灯光群（lamplighter group）、Thompson群、曲面的映射类群（mapping class group）等等（参见【3】、【4】、【7】等），这里就不再详细阐述了，有兴趣的读者可以继续研究它们的几何性质。

 

    扩展阅读：

   【1】Löh C. Geometric group theory: an introduction[M]. Springer, 2017. （几何群论的基础参考书，理论与实例比较均衡，本文主要参考书）

  【2】Office Hours with a Geometric Group Theorist[M]. Princeton University Press, 2017. （生动有趣的几何群论读本，可以看到丰富的实例，本文主要参考书）

  【3】Nowak P W, Yu G. Large scale geometry[M]. 2012. （大尺度几何的入门书，叙述非常简明精炼）

  【4】Meier J. Groups, graphs and trees: an introduction to the geometry of infinite groups[M]. Cambridge University Press, 2008. （几何群论的简易入门书，包含着很多专门的群例）

  【5】 Climenhaga V, Katok A. From groups to geometry and back[M]. American Mathematical Soc., 2017. （从初等群论开始的参考书，自然延伸到组合与几何群论）

  【6】Bowditch B H. A course on geometric group theory[J]. 2006. （几何群论小讲义，也涉及一些组合群论的基础）

  【7】de La Harpe P. Topics in geometric group theory[M]. University of Chicago Press, 2000.（几何群论的大字典，内容比较丰富全面）

  【8】 Bridson M R, Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （讲度量空间的综合性参考书，与几何群论有不少交叉部分）