李群与代数群都有相应的李代数，它们的李代数还有种种不同的定义，它们之间有什么关系呢？下面我们就来对此问题做一个简要的小结。    

 

    先简单介绍一下抽象李代数：域k上的李代数g指带双线性括号[ , ]的k-向量空间V，满足条件：对任何x，y，z∈V

     （1）[x, y] = -[y, x]

     （2）[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

其中（2）被称为Jacobi恒等式。

    对于一般结合代数A，我们可以定义其李代数括号为交换子，即

            [x, y] = xy-yx

这样例子可以说是李代数的原型，但并不是所有的抽象李代数都有此形式，比如在R^3中对矢量的叉乘，若记其基为e_1，e_2与e_3，则括号

            [e_1，e_2] = e_3, [e_2，e_3] = e_1, [e_3，e_1] = e_2

就给出了R^3中的李代数结构。

    这里的抽象括号是李代数的本质运算，给定李代数g与h，线性映射f：g→h是李代数的同态，若对x，y∈g，有

           f（[x，y]）= [ f（x），f（y）]

 

    给定李群G，其李代数g有多种定义方式，常见的定义有：

    （1）g是G在原点出的切空间T_eG

    （2）g是G上的左不变向量场

    （3）g = {X∈G；exp（tX）∈G}

其对应关系为：给定X∈T_eG，由群作用诱导出左不变向量场，反之直接限制在原点；由积分得到G上的单参数微分同胚群φ（t）= exp（tX），反之在原点处求导。

    对于矩阵李群，定义（3）中的指数运算有显示表达，若X是矩阵，则有展开式：exp（tX）= Σ（tX）^n/n!. 进一步，我们下面的指数公式：

    （1）若[X, Y] = 0，则exp （X+Y）= exp（X）exp（Y）

    （2）det exp（X）= exp tr X

其中第二个公式的证明可用Jordan分解：任何矩阵A都有分解A=B+N，[B, N]=0，其中B是可对角矩阵，N是幂零矩阵。

    下面验证对矩阵李群G，定义（3）确实是李代数，主要难点在于证明：X，Y∈g → X+Y，[X, Y]∈G.  为此我们要把上面的指数公式加强为下面的极限公式：

    （1）exp t（X+Y）= lim(n→∞) （exp（tX/n）exp（tY/n））^n

    （2）[X, Y] = lim(t→0) （exp（tX）Y exp（-tX）- Y）/t

 

    接下来看代数群的情况。事实上，代数群的李代数同样可被定义为原点的切空间，只不过对代数簇的切空间，又有着多种不同的处理方式，这里我们主要使用导子定义：

             T_1（G）= Der（k[G]，k_1）

其括号运算由交换子自然给出。这里的k_1说明它是在单位元1的逐点导子，即任何δ∈Der（k[G]，k）都满足：对任何f，g∈k[G]，δ（fg）= δ（f）g（1）+ f（1）δ（g）.           

    下面我们看类似于（2）定义方式，定义代数群G的伴随李代数为：

             Lie（G）= {D ∈ Der（k[G]）；D·λ_x = λ_x·D，x∈G}

其中λ_x是k[G]上的左平移作用，给定为：λ_x·f（y）= f（x^(-1)y），f∈k[G], y∈G. 也就是说，代数群G上的李代数由左不变导子定义，其括号运算同样由交换子自然给出。

    我们验证这两种定义是一致的，可以构造映射θ：Lie（G）→ T_1（G）为：

            （θD）（f）= （Df）（1），D∈Lie（G），f∈k[G]

还可以构造其逆为η： T_1（G）→ Lie（G），它映X到其右卷积*X，其中

            （f*X）（x）= X（λ_x^(-1)·f） ,f∈k[G]，x∈G

可以验证这样的*X是左不变导子，满足：（f*θ（D））= Df且θ（*X）= X 

    设H是代数群G的子群，其定义理想为I，在两种不同的定义下，分别有结论：

            T_1（H）= {δ ∈ T_1（G）；δI = 0 }

            Lie（H）= {x ∈ Lie（G）; I*x ≤ I}

    通过这样的导子定义，我们可以计算一些简单的例子：

   （1）G = G_a：k[G] = k[T]，令p（T）= D（T），则对任何x∈G，p（T-x）= p（T），故p（T）=const，有Lie（G）= < d/dT > ≌ k.

   （2）G = G_m：k[G] = k[T，T^(-1)]，令p（T）= D（T），则对任何x∈G，f（x^(-1)T）= x^(-1)f（T），故f（T）= aT，有Lie（G）= < Td/dT > ≌ k.

   （3）G = GL_n：k[G] = k[X_11, …，X_nn, det^(-1)]，取M_n → D ∈ Der（k[G]）为X → D_X，其中D_X（T_ij）= ΣT_ilX_lj，它是同维数空间的单射，故诱导同构：Lie（G）≌ M_n. 

 

    遗憾的是，这里关于子群的命题不太适合具体计算，因此我们引入对偶数的概念，进而给出代数群伴随李代数的新定义。

    设G是域k上的代数群，定义k[ε] = k[X]/(X^2)，称为对偶数环，有同态π：k[ε]→k为π（a+bε）= a，它自然诱导态射π：G（k[ε]）→ G（k），可以把G的伴随李代数定义为：

            Lie（G）= ker π = {A ∈ M_n：I+εA ∈ G}

这个定义可视为上面李群李代数定义（3）的类比，尽管代数群不考虑指数映射，但作为切空间的李代数只需要一阶项的信息，这里对偶数结构正好可以用来去掉高阶项。

    对k-代数R，G（R）结构实际上是代数群的函子观点，视G ≤ GL_n时，G（R）≤ GL_n（R）可以视为R-值矩阵子群。特别，R = k[ε]时，G （k[ε]）称为代数群G的切束（tangent bundle）

    实际上，我们可以在代数簇上说明，这样的定义与切空间是一致的。设P是k上仿射代数簇V的点，类似定义给出映射π，V（k[ε]）→ V（k），定义V在P点的切空间为：

           T_P（V）= π^(-1)（P）

这样的定义正好是把ε的线性项提取出来，因此与通常的切空间定义是一致的。  

    接下来回到代数群的情形，由此定义容易计算一些常见子群的李代数：

        Lie（SL_n）= {I+Aε ∈ M_n（k）；det（I+Aε）=1} = {I+Aε：Tr（A）= 0} ≌ {A ∈ M_n（k）;Tr（A）= 0}

        Lie（O_n）= Lie（SO_n）= {I+Aε ∈ M_n（k）;（I+Aε）^T（I+Aε）= 1} = {I+Aε：A^T+A = 0} ≌ {A ∈ M_n（k）；A^T+A = 0}

    更一般地，给定C ∈ GL_n，若G由满足A^TCA = C的矩阵A组成，则Lie（G） ≌ {A ∈ M_n（k）；A^TC+CA = 0}.

    此外，Lie（T_n）是上三角子群，Lie（U_n）是严格上三角子群，Lie（D_n）是对角子群。

 

    最后，简单介绍一下态射的微分，先看代数簇的情形。设φ：X→Y是代数簇的态射，它诱导出坐标环上的拉回f^*：k[Y] → k[X]，给定p∈X，记q = φ（p），φ^*限制为局部环的映射，进而诱导m_q/（m_q）^2 → m_p/（m_p）^2，取对偶后得到微分dφ：T_pX → T_qY. 显然，这样的微分满足函子的基本性质。

    对于代数群而言，同样适合选择与坐标环有关的定义：T_1（G）= Der（k[G]，k_1）. 设φ：G→H是代数群的态射，则φ（在1∈G）的微分定义为dφ：T_1（G）→ T_1（H），dφ（δ）= δ·φ^*. 

    这样的微分把代数群的态射变为其伴随李代数的同态：对任何δ_1，δ_ 2∈T_1（G），有

            dφ（[δ_1，δ_2]）= [dφ（δ_1），dφ（δ_2）]

    设G是代数群，其乘法算子与逆算子分别记作μ与i，则对任何X，Y ∈ Lie（G），有

    （1）dμ（X，Y）= X+Y

    （2）di（X）= -X

    

    扩展阅读：

    【1】Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （线性代数群的经典参考书，以导子定义为主处理李代数，顺便提到对偶数定义）

    【2】Borel A. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （线性代数群的传统参考书，对导子定义有比较多的细节讨论）

    【3】Malle G, Testerman D. Linear algebraic groups and finite groups of Lie type[M]. Cambridge University Press, 2011.  （线性代数群及其群论应用，对导子定义有简明的阐述）

    【4】Milne J S. Algebraic geometry[M]. Allied Publishers, 1996. （高观点的代数几何参考书，用对偶数定义处理切空间）

    【5】Milne J S. Algebraic groups[J]. Lie Groups, and their Arithmetic Subgroups v3. 00, online course notes available at www. jmilne. org/math, 2011.  （Milne的代数群系列讲义之一，用对偶数定义处理李代数）

    【6】Bump D. Lie groups[M]. New York: Springer, 2004.  （内容丰富的李群理论参考书，包括了矩阵李群的极限公式）

    【7】项武义, 侯自新, 孟道骥. 李群讲义[M]. 北京大学出版社, 1992. （简明生动的李群入门书，对其李代数有框架式的叙述）