在代数几何中，对代数簇的维数有着多种定义方式，比如拓扑维数定义，环论的Krull维数定义、域论的超越次数定义与几何维数定义等等，下面我们来分析这些定义之间的异同优劣。

    约定：基域k是代数闭域，代数簇无特别声明，均为不可约的。

    最一般的维数定义自然是拓扑意义上的，我们可以定义不可约空间的维数。不可约拓扑空间X的维数定义为所有不同的不可约闭子集的降链X = X_0 ＞ X_1  ＞ ...  ＞ X_n ≠ ∅的长度n的上确界，记作dim X；若不存在这样的n，则称dim X = ∞.  这一点用欧式拓扑来看也是很奇怪的，比如实数集R上的闭区间[0,1]竟然会是无穷维的！
    对于一般的Noether拓扑空间，可以定义其维数为各不可约分支最大维数，而仿射代数簇的维数则是它作为Noether拓扑空间的维数。
    仿射空间k^n的维数是n. 因为我们有不可约降链k^n ＞ k^(n-1) ＞ ... ＞ k ＞ pt，同时每个不可约真闭子集至少会让维数降1，所以这样的降链已经是最长的可能了。

    这个定义尽管比较一般，但是操作不方便，而且其超出代数几何的部分，常常会导致病态的结论，比如开稠集的维数可以不等全空间的维数。

    对于仿射空间k^n内的仿射代数簇X，我们可以定义其维数是坐标环k[X] = k[x_1, ... x_n]/I(X)的Krull维数，其中I（X）是X的定义理想。这里的坐标环k[X]是X上所有多项式函数的集合，可以表示为X上各点的局部环的交：k[X] = ∩(p∈X)O_p.

    利用这个定义，我们有dim k^n = dim k[x_1, ... x_n] = n，其中第二个等号就是交换代数中的维数定理。

   可以证明，Krull维数的定义与上面拓扑定义是一致的，即有：dim X = dim k[X].  这是因为X的不可约闭子集一一对应于包含I(X)的素理想，也就一一对应于k[x_1, ... x_n]/I(X)的素理想。

    在代数几何的参考书中，上述结论一般以定理的形式出现，它在代数与几何之前起一个桥梁的作用，但不太适合直接用来计算。

    代数几何中经常把维数定义为有理函数域k（X）在域k上的超越次数tr deg k（x），这里的超越次数就是其超越基的元素个数，而超越基则是指代数无关的极大子集。

    为什么很多代数几何参考书喜欢使用这个定义呢？个人认为，主要有下列三点原因：

    1）它主要使用域论概念，更加接近于普通的数，这要比环论的素理想容易计算；

    2）超越基相当于代数方程中的未定元，与方程组消元有密切联系，更加接近于定义代数簇直观动机；

    3）它只涉及代数簇有理函数域，由此可以直接得到维数是双有理不变量。

    对于第三点，实际上它是下列范畴等价的推论：仿射代数簇与有理支配映射的范畴反等价于有理函数域与包含关系的范畴。由维数的双有理不变性可得，开稠集的维数一定等于全空间的维数，而射影簇的维数则可以划归为其仿射开稠集的维数。

    为了证明这个定义与环论定义是等价的。我们需要下面的Noether正则化引理：若R是域k上的有限生成代数，则存在R的k-子代数P，它同构于k上的多项式代数k[x_1，...，x_d]且R在P上的整的。

    考虑R=k[X]的情形，由交换代数中的下行定理（Going down），我们可以得到dim R = dim P = d；同时由其整性关系，可以其有理函数域只有x_1，...，x_d是超越元，因此tr deg Q（R） = tr deg Q（P） = d，这里Q（-）表示商域。因此，维数的环论定义与域论定义是一致的。  

     由Noether正则化引理，还可以证明任何k^d内的仿射代数簇X都是k^(d+1)维空间内的超曲面。这里因为我们可以取k[x_1，...，x_d] ≤ k[x]且k[x]在k[x_1，...，x_d] 上是整的，这样对应的有理函数域k（x_1，...，x_d） ≤ k（x）是有限代数扩张，由本原元素定理，可得此扩张由一个代数元生成，这个代数的定义方程就是超曲面的方程。

    一般微分流形的维数，可以被定义为其切空间的维数，对代数簇是不是也有类似的定义呢？答案是肯定的，但与流形不同的是，代数簇可能有奇点，因此需要特别考虑其非奇异部分。

    对仿射空间A^N内的仿射代数簇X，设其定义理想由{f_1，…，f_n}生成，则定义其切空间为：T_pX = ∩{df_i|p = 0}，其中I=1，…，N. 这里对p = （a_1，…，a_N），df|p = Σdf/dx_i（p）（x_i-a_i），其中i= 1，…，N，称为f在p点处的微分。

    值得注意的是，这样的切空间的维数是不同的，比如对平面曲线y^2 = x^3，它在原点处的切空间是整个平面，而在其他点的切空间都是直线。

    如果说域论的超越次数定义处理的是方程的未定元的话，那么这个切空间的定义主要处理方程的个数，但有些方程可能是退化的，所以就出现不同点的局部维数不一致的情况，对此我们的处理方式就是抓主干舍细节。

    可以证明，给定仿射代数簇X，存在开稠集U≤X，使得dim T_pU = d，p∈U且dim T_pU ≥ d，p∈X. 这样的d就称为仿射代数簇X的维数。切空间的维数等于代数簇的维数的点称为正则点，否则就称为奇异点。所有点都是正则的代数簇又被称为非（奇）异的，典型的非异簇是仿射代数群。

    还可以证明，代数簇在P切空间实际上就是其m_p/(m_p)^2的对偶空间，因此其几何维数就是dim m_p/(m_p)^2，其中m_p是局部环O_p的极大理想。由交换代数的知识，我们还可以得到dim m_p/(m_p)^2 = dim O_p iff O_p是正则局部环。

    这样定义的几何维数也是双有理不变的，在此意义上我们可以把d维仿射代数簇X视为（d+1）维仿射空间内的超曲面V（f），其中f不可约。此时，增加一个方程f = 0，可以消去一个未定元，其几何维数与超越次数都会减1，因此这两种维数是一致的。

    综上所述，给定仿射代数簇X与其上任一正则点p，我们有：

            dim X = dim k[x] = tr deg k（X）= dim T_pX

    扩展阅读：

   【1】Reid M. Undergraduate algebraic geometry[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. （本科的代数几何入门书，很有启发性，本文主要参考书）

   【2】Shafarevich I R. Basic algebraic geometry[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1994. （比较几何化的代数几何参考书。对切空间、奇异点等概念有细致讨论）

   【3】Hartshorne R. Algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （有一定难度的代数几何的经典参考书，代数簇的维数见第一章，后面有概型的维数）   

   【4】Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （线性代数群的参考书，自带代数几何精要小结，其中包括拓扑维数等各种延伸内容）