很多人初学Zariski拓扑都会觉得有点奇怪，主要是因为他们原先的拓扑观念都来源于欧式拓扑，不满足这些观念的拓扑尽管可以存在，但都是一些零散的反例，不像Zariski拓扑那样自有一体。反过来，假若我们以Zariski拓扑为原型，也可以发展出一套拓扑学理论，即所谓的Zariski拓扑学。

    这里我们只考虑仿射空间，设k是代数闭域，在仿射空间k^n内，以有限多个多项式的公共零点为闭集，就可以定义Zariski拓扑的概念。此外，由Noether基定理，多项式环k[x_1 , ... , x_n]是Noether，故其内任何理想I均为有限生成的，我们可以定义这样的Zariski闭集形如V（I）= {x∈k^n；f（x）= 0，对任何f∈I}。

    从欧式拓扑的观点来看，Zariski拓扑是比较奇怪的，它的开集邻域太大，不满足Hausdorff公理。比如在一维仿射空间k上，其开集就是除去有限个点之外的部分。此外，二维仿射空间k^2的Zariski拓扑还不是两个一维仿射空间积k×k上Zariski拓扑的积拓扑。假若不然，我们就有对角线x=y是闭集，这等价于k上的Zariski拓扑有Hausdorff性质，矛盾！

    对Zariski拓扑而言，如果说Hausdorff性质的要求太高，那么连通性的要求又太低了，我们还需要拓扑空间的不可约性。拓扑空间X是不可约空间（irreducible space），是指它不能分解为两个真闭子集的并。这一点是欧式拓扑非常不满足的，比如实数集R上的闭区间[0,1]，总可以分为成真闭子集[0, 1/2]与[1/2, 1]的并，或者其内各单点的并。

    实际上，点集拓扑学中称这样的空间为超连通空间（hyperconnected space），不可约性是在代数几何中的术语，它源于代数簇的分解。比如k^2内的代数簇xy=0是连通的，但它却是可约的，我们更希望把它分解成代数簇x=0与y=0. 

    对于不可约空间，我们有如下的等价命题：

    （1）X是不可约的

    （2）X的任何非空开子集稠密

    （3）X的任何两个非空开子集有非空交

    极大的不可约子空间称为不可约分支。由等价条件（2）可以看出，不可约空间的闭包是不可约的，因此不可约分支一定是闭的。类似于连通性，我们同样考虑把空间分解为不可约分支的并，这在下面的Noether条件下会得到良好的实现。

    在代数上，我们有X是仿射空间k^n内的不可约子集 iff 其对应的理想I（X）是素理想。

    Zariski拓扑对于紧致性的要求如何呢？为此我们引入Noether空间的概念。拓扑空间X称为Noether的，若X的闭子集的降链终止于有限项。显然，这又是一个Zariski型的拓扑概念，比如实数集R上的闭区间[0,1]就有无穷下降链[0,1] ≥ [0,1/2] ≥ [0,1/3] ≥ ... ，因此它就不是Noether的！

    对于Noether拓扑空间，我们有如下的等价命题：

    （1）X是Noether拓扑空间

    （2）X的非空闭集族必有极小元

    （3）X的开子集的升链终止于有限项

    （4）X的非空开集族必有极大元

    利用这里等价条件（4），我们可以证明若X是Noether拓扑空间，则X的任何开覆盖均有有限子覆盖。这岂不是说明了Noether拓扑空间一定是紧致的吗？但代数几何学家却把它叫做拟紧（quasi-compact）。拓扑空间X称为拟紧的，若其任何开覆盖都有有限子覆盖。可以证明X是Noether的 iff X的任何（开）子空间都是拟紧的。

    为什么代数几何学家会把点集拓扑学的紧致性叫做拟紧呢？主要是这里的紧致性与通常的要求相距甚远，我们要一般习惯于紧致性伴随着Hausdorff性质，但Zariski拓扑一般没有此性质：假若拓扑空间X同时是Noether与Hausdorff的，那么它只能是离散的有限个点。此外，若把仿射空间称为紧致的，在拓扑上就会导出它是完备的，但代数几何习惯于把射影空间作为大背景，而仿射空间嵌入射影空间后不完备，这就容易带来术语上的混乱！

    Noether拓扑空间X可以分解为有限多个不可约互不包含的不可约闭子空间的并，这样闭子空间不计顺序的条件下是唯一的，它们就是Noether拓扑空间X的各个不可约分支。这个结论实际上就对应Noether环的准素分解定理，它可以视为多项式的不可约因子分解的一个推广。

    最后，我们还可以定义不可约空间的维数。不可约拓扑空间X的维数定义为所有不同的不可约闭子集的降链X = X_0 ＞ X_1  ＞ ...  ＞ X_n ≠ ∅的长度n的上确界，记作dim X；若不存在这样的n，则称dim X = ∞.  这一点用欧式拓扑来看也是很奇怪的，比如实数集R上的闭区间[0,1]竟然会是无穷维的！

    对于一般的Noether拓扑空间，可以定义其维数为各不可约分支最大维数，而仿射代数簇的维数则是它作为Noether拓扑空间的维数。

    仿射空间k^n的维数是n. 因为我们有不可约降链k^n ＞ k^(n-1) ＞ ... ＞ k ＞ pt，同时每个不可约真闭子集至少会让维数降1，所以这样的降链已经是最长的可能了。实际上，对于一般的仿射代数簇，我们也可以通过取与不可约超曲面的交集的不可约分支得到类似的结果，即每一级降链都减去一维直到最后，直观上看就是增加一个有效方程，从而减少了一个自由变量。

    对于k^n内的仿射代数簇X，我们有dim X = dim k[X]，其中k[X] = k[x_1, ... x_n]/I(X)是X的坐标环，维数的交换环的Krul维数。这是因为X的不可约闭子集一一对应于包含I(X)的素理想，也就一一对应于k[x_1, ... x_n]/I(X)的素理想。这个维数还等于有理函数域k（X）在域k上的超越次数，后者直观的表现为定义代数簇的方程组的解中自由变量的个数。   

    利用上述结论，我们有dim k^n = dim k[x_1, ... x_n] = n，其中第二个等号就是交换代数中的维数定理；或者是dim k^n = tr deg k（x_1, ... x_n）= n
    这样的维数定义在代数几何中是相当满意的，但对于非Zariski拓扑的情形，就有点过于宽泛了，我们至少有下列两种坏的性质。

    1）全空间的维数不等于其稠开集的维数：取X={a, b}，其闭集为∅，{a}，X，则dim {b} = 0，但dim X = 1！

    2）Noether拓扑空间可以是无穷维的：取X为整数集Z，其闭集为∅，C_k，X，其中C_k = {1, ... ,k}，k = 1，2，...，则总有长为N的链X ＞ C_N ＞ C_(N-1) ＞ ... ＞ C_1={1}，因此dim X ≥ N，由N的任意性得X是无穷维的。

    实际上，Zariski拓扑的概念扩展了点集拓扑学的范围，但目前对Zariski拓扑学的讨论，大都只能在交换代数与代数几何的书籍中找到（很可能还被下放在习题里）。为此我们可以对比Baire纲的情况，它是泛函分析中发展出的拓扑概念，但已经有拓扑学的书（参见【6】）把它吸收进去了，希望以后也能看到有拓扑学的书籍专讲Zariski拓扑，这对拓扑学与代数几何的发展都是大有好处的。

    扩展阅读：

    【1】Kemper G. A course in commutative algebra[M]. Springer Science & Business Media, 2010. （用几何观点写的交换代数入门书，关于Zariski拓扑学的部分一直延伸到习题）

    【2】Hartshorne R. Algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （有一定难度的代数几何的经典参考书，Zariski拓扑学的部分主要见第一章习题）

    【3】Reid M. Undergraduate algebraic geometry[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. （代数几何本科入门书，只讲了代数几何中的Zariski拓扑，没有延伸到一般的拓扑空间）

    【4】Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （线性代数群的参考书，自带代数几何精要小结，其中包括Zariski拓扑学）

    【5】Dragos Oprea. Irreducibility and dimension（资料不详的网络讲义，主要讨论Zariski拓扑学，下载地址：math.ucsd.edu/~doprea/id.pdf） 

    【6】Munkres J R. Topology[M]. Prentice Hall, 2000. （非常精彩的拓扑学参考书，只可惜没有涉及Zariski拓扑）