群胚（groupoid）是非交换数学的一个基本研究对象，下面我们先给出其公理性定义，并用范畴语言做一个等价刻画，再比较一下群胚与群的差别，然后给出李群胚（Lie groupoid）的概念，比较它与纤维束（fibre bundle）之间的差别，最后给出李代数胚（Lie algebroid）的概念，并简要说明李群胚与李代数胚的关系。

  

    让我们先从群胚的概念开始。所谓群胚（G，M），主要由两个集合G与M组成，M称为群胚的基，G带有群结构，也称为群，它附带五个基本映射如下：

    （1）α：G→M，称为源投影（source projection）

    （2）β：G→M，称为靶投影（target projection）

    （3）1：M→G，x→1_x，称为对象包含映射

    （4）i：G→G，g→g^(-1)，称为逆映射

    （5）m：G*G→G，（g，h）→gh，称为部分乘法，这里G*G = {（g，h）∈G×G；α（h）= β（g）}

它们满足下列基本性质：

    （i）α（hg）= α（g），β（hg）= β（h），对任何（h，g）∈G*G

    （ii）j（hg）= （jh）g，对任何j，h，g∈G满足α（j）= β（h）且α（h）= β（g）

    （iii）α（1_x）= β（1_x）= x，对任何x∈M

    （iv）g1_α(g) = 1_β(g)g =g，对任何g∈G

    （v）α（g^(-1)）= β（g），β（g^(-1)）= α（g）且g^(-1)g = 1_α(g)，gg^(-1) = 1_β(g)

    M的元素称为群胚G的对象，G的元素称为其箭头，对应于对象x∈M的元素1_x称为x上的单位或恒同映射。

    群胚（G，M）到（G'，M'）的态射定义为映射对F：G→G'与f：M→M'，满足条件：

    （i）α' · F = f · α

    （iI）β' · F = f · β

    （iii）F（hg）= F（h）F（g），对任何（h，g）∈G*G

    由此可以得到：

    （iv）F（1_m）= 1_f(m)，对任何m∈M

    （v）F（g^(-1)）= F（g）^(-1)，对任何g∈G

 

    实际上，任何g∈G都可以视为 α（g）到β（g）的群作用，它以复合为乘法构成半群，对象包含映射说明单位元的存在，再加上可逆性条件的话，就得到了群的结构。

    我们一般用箭头来标识这样的群作用，于是就得到了群胚的范畴结构。事实上，一些不专门讨论群胚的书籍，常常借助范畴对群胚做简要的定义：群胚就是态射可逆的小范畴，其乘法映射就是箭头的复合。

    用范畴论的观点，我们可以把群胚（G，X）分层展示为：

        G^(0) = X

        G^(1) = G

        G^(2) = {（g，h）∈ G×G；β（g）= α（h）}

         ……

    在范畴的观点下，我们可以很容易的看出上述性质（i）-（v），还可以方便的定义下面的对群胚（pair groupoid）的概念。设G=X×X，其箭头映射给定为：

         x→ y： α（x，y） = x，β（x，y）=y

         x→y→z：（x，y）（y，z）= （x，z）

         x→x：1_x = （x，x）

         x→y→x：（x，y）^(-1) = （y，x）

 

     下面我们来看群与群胚之间的关系，给定群胚（G，M），定义G_x = α^(-1)（x），称为x上的α-纤维，G^y = β^(-1)（y），称为y上的β-纤维，(G_x)^x = G_x ∩ G^x称为x上的顶点群。

    反之，给定任何群G，我们可以定义两种对应的群胚：

   （1）取对象集为单点集{*}，定义Hom（*，*）= G，其态射的复合就是群乘法。

   （2）取对象集为群G，对s，t∈G，定义Hom（s，t）= {g∈G；gsg^(-1)=t}，其态射的复合由群乘法给出。

    我们还有更一般的结构。给定群G在集合X上的作用，定义群胚G*X为：取对象集为X且对任何x，y∈G，Hom（x，y）= {g∈G；gx=y}，其态射通过群乘法复合，这样的群胚称为作用群胚。可以验证，上面的（1）与（2）都是这个结构的特例。

    群胚结构还与集合X的等价关系有关。记～是X上的等价关系，可定义群胚G为：取对象集为X，对任何x，y∈X，Hom（x，y）= （x，y），若x～y；Hom（x，y）= ∅，否则。其态射的复合自然给出，这样的群胚称为～的图。若对任何x与y，x～y，则对应的群胚就是上面给出的对群胚。

    拓扑群胚（topological groupoid）指态射对象集都是拓扑空间且其源、靶、可逆映射与态射复合都是连续的群胚。拓扑群胚的一个基本例子，是拓扑空间X上的基本群胚π（X），其对象集是X，对任何x，y∈X，Hom（x，y）是从x到y的连续映射的同伦类，其态射的复合与拓扑结构自然给出。基本群胚的顶点群，就是通常拓扑学中的基本群。

    在叶状结构（foliation）上，我们可以类似的给出其单值群胚（monodromy groupoid）与完整群胚（holonomy groupoid）（参见【4】），其顶点群分别为叶状结构的单值群与完整群。实际上，它们都是李群胚。

   

    把连续性加强为光滑性，我们就可以得到李群胚的概念。具体来说，李群胚是指基M上的群胚G，满足下面的基本条件：

    （1）M是Hausdorff第二可数的光滑流形

    （2）G是不必Hausdorff的第二可数光滑流形

    （3）结构映射满足α，β：G→M是光滑满淹没

    （4）对象包含映射1：M→G与部分乘法G*G→G是光滑的。

    实际上，条件（3）中的α与β的满淹没条件只需要满足一个，另一个可以由对应的群作用得到。如果不满足条件（3），它可以被称为微分群胚（differential groupoid）。请读者注意，有些书上（比如【2】）用微分同胚指这里的李群胚，而用李群胚指满足局部平凡性的李群胚。

    为什么这里李群胚的定义不要求逆映射光滑？这是因为它可以由群胚的其他条件给出。可以证明：对基M上的李群胚G，逆映射i：G→G，g→g^(-1)是微分同胚。

    任何光滑流形M都可以视为α=β=id_M的李群胚。更一般的结构是给定李群G在光滑流形M上的光滑作用G×M→M，那么在G×M上可以给出李群胚结构为：α是到M上的投影，β是G×M到M的作用，自然包含为x→（1，x）且部分乘法是：（g，y）（h，x）= （gh，x）iff y=hx，其逆映射为（g，x）= （g^(-1)，gx）. 这样我们就得到了G在M上的作用李群胚。

   给定两个李群胚（G，M）与（H，N），G到H的李群胚态射指与其结构映射一致的光滑映射对Φ：（G，M）→（H，N）.

 

    下面我们来比较一下群胚与纤维束的概念。当群胚中的α=β时，它就是构成了一个一般意义上的纤维束，这里的一般意义是指它不一定满足纤维束局部平凡性，其纤维之间可能不同构，因为它们可能处在不同的群作用轨道上。  

    为此，我们定义M上的群胚G是可迁的（transitive），若对任何x，y∈M，存在g∈G，使得α（g）= x且β（g）= y. 对于不涉及拓扑结构的集合群胚，可迁性可以保证它是平凡的。

    对于李群胚而言，我们需要考虑其拓扑结构，因此就有更高的要求。定义M上的李群胚G是局部平凡的，若映射（β，α）：G → M×M是满淹没，这里的局部平凡性与纤维束有类似的结构。若G是局部平凡李群胚，则对任意给定m∈M，存在M的由β_m的局部截面为σ_i：U_i→G_m组成的开覆盖{U_i}，对各U=U_i与σ=σ_i，有保持基的同构U×(G_m)^m×U→( G_U)^U为（y，g，x）→σ（y）gσ（x）^(-1).

   简而言之，可迁的李群胚可代数的等同各点纤维，局部平凡的李群胚可拓扑的等同各点纤维，因此局部平凡的李群胚一定是可迁的。反之如何？

    对于纤维束，我们常常讨论它的截面，而对于李群胚，所对应的则是它的双截面（bisection）。李群胚G的双截面指光滑映射σ：M→G，满足α·σ = 1_M且β·σ：M→M是微分同胚。G的双截面集记作B（G）.

    设G是M上的李群胚，则B（G）是有关于下列定义的*乘法的群：

            （σ*τ）（x）= σ（（β·τ）（x））τ（x），x∈M

其恒等元id就是对象包含映射x→1_x，且有逆为：

            σ^(-1)（x）= σ（（β·σ）^(-1)（x））^(-1)，x∈M

   这样的双截面群与李群胚的左平移有同构关系。G上的左平移指微分同胚对φ：G→G，ψ：M→M，满足β·φ = g·ψ且α·φ=α，使得各f^x：G^x→G*ψ(x)是L_g，对某g∈G. σ→L_σ就是其对应的群同构。

 

    最后，我们来看李代数胚的概念。设M是流形，M上的李代数胚包含下面基本结构：

    （1）向量束（A，q，M）

    （2）M上束映射a：A→TM，称为A的锚（anchor）

    （3）满足Jacobi恒等式的R-双线性交错括号[ , ]：ΓA × ΓA → ΓA

满足下面基本关系：对任何X, Y∈ΓA，u∈C^∞（M）

    （i）[X, uY] = u[X, Y] + a（X）（u）Y

    （ii）a（[X, Y]）= [a（X），a（Y）]

   若锚映射a：A→TM是逐点满的，则李代数胚称为可迁的。

   李代数胚的态射就是与括号和锚结构一致的向量束态射。设A'是M上的另一个李代数胚，其锚为a'括号为[ , ]'，M上李代数胚的态射φ：A→A'指满足下列条件的向量束态射：a'·φ = a且对任何X，Y∈ΓA，φ（[X, Y]）= [φ（X），φ（Y）]' .

    显然，李代数可以视为锚为0的李代数胚，流形的切束TM对向量场的括号可以视为锚为1的李代数胚。

   

    给定李群胚（G，M），我们可以定义其伴随的李代数胚为：

            AG = ∪(x∈M)T_1_x （G_x）  

其自然括号结构由TG诱导，锚映射a：AG→TM映X∈ΓAG到对应右不变向量场的β-投影。

    G上向量场X称为α-垂直的，若它满足：

   （1）对任何g∈G，X（g）∈ T_g（G_αg）

X称为右不变的，若它还满足：

   （2）对任何（g，h）∈ G*G，X（hg）= T_h（R_g）（X（h））

    下面我们来分析其具体构造，AG实际上是M上的向量束，它由1：M→G与T^αG→ G的拉回得到，其中T^αG = ∪(p∈M)T（α^(-1)p）≤ TG.

    给定X∈ΓAG，定义

            X'（g）= T（R_g）（X（βg）），g∈G，

它给出了李群胚G上的右不变向量场，由此定义ΓAG上的括号为：

            [X，Y] = [X'，Y']·1，X，Y∈ΓAG

其锚映射a：AG→ TM则通过下图定义为：

（这里的1^*只是一个临时的记号，它与通常向量束的拉回映射方向相反）
    下面我们具体分析一下对群胚G=M×M的情形，有T^αG = ∪(p∈M)p×TM ≤ TM×TM，通过1：M→

G拉回T^αG得到AG = ∪(p∈M)T_pM = TM，其右不变向量场就是在第一个分量上的切向量场，因此其括号就是M的切向量场的李括号，锚映射就是恒同映射。

    这样的定义当基M相同时具有函子性，设F：G→ G'是M上李群胚的同态，则我们可以诱导出对应李代数胚的同态F_*：AG→AG'，并且还有：F是淹没（或浸没）iff 各F_x：G_x→ G'_x是淹没（或浸没），x∈M iff F_*：AG→ AG'是按纤维的满射（或单射）。由此可得，若李群胚G是局部平凡的，则其对应的李代数胚AG是可迁的，反之若AG可迁且M连通，则李群胚G是局部平凡的。

 

    最后的畅想：代数化的群胚理论。既然我们已经有了李群胚，为什么就不能有代数群胚（algebraic groupoid）呢？我们可以把李群胚中的群与流形分别换成代数群和代数簇（或更一般的群概型与概型），并要求其结构映射都是代数簇（或概型）的态射，对此就需要当代的数学家一起来探索完善了。    

    扩展阅读：

   【1】Mackenzie K C H. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids[M]. Cambridge University Press, 2005. （专门介绍李群胚与李代数胚的参考书，内容相当丰富全面，本文主要参考书）

   【2】Mackenzie K. Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry[M]. Cambridge university press, 1987. （【1】的早期版本，包括群胚与拓扑群胚的基本内容）

   【3】 Williams M B. Introduction to groupoids[J]. （李群胚与李代数胚理论的简明小结）

   【4】Moerdijk I, Mrcun J. Introduction to foliations and Lie groupoids[M]. Cambridge University Press, 2003. （叶状结构与李群胚的入门书，比较侧重于几何方面）

   【5】 Da Silva A C, Weinstein A. Geometric models for noncommutative algebras[M]. American Mathematical Soc., 1999. （沟通非交换几何与代数的小书，内容相当有启发性）

   【6】Khalkhali M. Basic noncommutative geometry[M]. European mathematical society, 2009. （非交换几何的入门书，对群胚有简明介绍）

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     李代数胚理论与Poisson几何有密切关联，请看博文：浅谈Poisson流形上的微分几何学