数学家Cantor有个著名定理，|R|=|R^2|，也就是通常所说的直线上的点与平面上是一样多的。

    对Cantor的这个定理，我们有个简单的编码证明。基本思路就是：不妨考虑开区间(0, 1)与(0, 1)×(0, 1)的一样对应，其中的任意一点可以写成0.abcdef…的形式，然后交错对应为0.ace…与0.bdf…，这样的对应几乎就是一一的。这里说几乎是因为可能出现a999…=(a+1)000…的情况，为了避免这个情况，我们可以约定都写成999…的形式，然后按照首位不为0的要求来分段。比如0.20304050607…可以拆成0.20406…与0.030507…，这样的对应就是一一的。

    乍一看，这个结论似乎违背直觉，主要是因为这里只要求集合上的一一对应，而直觉中的对应常常是连续的。假若加上连续性条件，那么其结论就不成立了。

    我们可以先从最强的同胚条件开始，这里的同胚是指存在连续映射与连续逆映射一一到上映射，同胚图形的拓扑性质完全相同，它就是拓扑空间范畴上的同构。比如R与(0, 1)实际上就是同胚的，但与[0,1]就不是同胚的，因为后者不是R内的开集。

    R与R^2是不是同胚的？有人也许会说不是，因为它们的维数不同，但在拓扑学中的维数还需要进一步明确，这个结论是正确的，但解释却有点舍近求远了。最简单的方法莫过于挖去一点来看，此时R将出现两个连通分支，而R^2依然保持其连通性，这就说明R与R^2不是同胚的。实际上这个结论是局部性的，即不可能有区间同胚于包含R^2内开集的集合。

    仔细分析，我们发现上述分析还可以说明：不存在R^2到R的一一连续到上映射。接下来就要问：是不是可以有R到R^2的一一连续到上映射呢？答案依然是否定的，假若这个映射是线性的，那么我们可以直接用泛函分析中的开映射定理，对于一般情形，我们则需要把它还原为纲推理。考虑A_n=[-n, n]，由纲定理可得，B_n=f（A_n）一定包含R^2的某个闭球B，同时注意到连续映射f映紧集到紧集，有f在A_n上的限制是闭映射，因此f限制在f^(-1)（B）上就是同胚，即包含二维开球的B同胚于R上的区间，由前面的解释可知这是不可能的！

   有人也许会想到一类填满空间的曲线（space-filling curve），包括Peano曲线、Hilbert曲线等不同版本，但实际上这样的曲线不是一一的。图片中就是Hilbert曲线的例子，它通过对正方形不断划分实现，最后得到的“极限图形”就是Hilbert曲线。请注意正方形的中间一点，它在各个划分中都有曲线邻近，因此在最后的Hilbert曲线中就是自交点。

    有人可能还会怀疑最后的极限图形是不是曲线，为此要先对曲线有个明确的定义。一般而言，我们把曲线定义为区间到空间的连续映射f，一般还都是选的单位区间I=[0,1]，即有曲线f：I→R^n，n=2时又称为平面曲线。请注意，这个分析定义实际上是把曲线定义为映射，而我们通常直观中的曲线则是映射的像，当我们通常谈到曲线时，一般都是在映射与映射像之间自由转化的。

    曲线的定义看似简单，但也包含着一些奇怪的例子，比如拓扑学家的正弦曲线，它由平面上y=sin 1/x，0＜y≤1与（0，y），-1≤y≤1组成，它是连通的但却不是道路连通的。拓扑学家的正弦曲线之所以显得怪异，是因为其中包含着一个无限构造，而填满空间的曲线则是包含着无限多的无限。实际上，图中正方形的网格可以对应于二进制的有限小数，比如四等分时方格内的曲线段，分别以[0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1]为参数，十六等分时每个小格就以1/16的长度为参数，以此类推，最后得到的极限曲线所反映的就是单位区间I内的二进制有限小数在逼近实数。

    既然我们有这么多奇怪的曲线，是不是可以找个定义，把它们都排除出去呢？实际上，对所谓闭曲线的情形，即满足f（0）=f（1）的曲线f：I→R^n，确实有简单曲线的定义。所谓简单闭曲线，就是指同胚于圆周S^1的曲线，又被称为Jordan曲线。这个名称应该是源于Jordan曲线定理：简单闭曲线把平面分成不连通的两个部分。

    我们也可以把一般的曲线定义简单曲线为同胚于[0,1]的曲线，但这个定义似乎没有被教科书正式收录，有的书上只是漫不经心的称其为弧（arc），个人认为其这可能是因为没有比较重要的定理支撑的缘故。那要是遇到怪异的例子怎么办呢？请放心，怪异的例子主要是拓扑学研究的对象，在分析中所用的大都是（分段）可微曲线，这里可微性的要求自然就把那些怪异的情况给排除掉了。

    扩展阅读：

   【1】汪芳庭. 数学基础[M]// 科学出版社, 2001. （以集合论为主体的数学基础，可读性很高）

   【2】Munkres J R. Topology: a first course[J]. Englewood Cliffs, New Jersey, 1975. （拓扑学经典教材，内容相当丰富全面，本文中的数学概念大都可以在其中找到）

   【3】Daneshpajouh H R, Daneshpajouh H, Malek F. An interesting proof of the nonexistence of a continuous bijection between ℝ n and ℝ 2 for n≠2[J]. Inv Lve, 2014, 2(2). （如题，一篇有趣的小论文）