代数K-理论在很大程度可以视为线性代数的二次推广，第一次推广是矩阵元素或者说是系数可以是交换环乃至更一般的非交换环，即所谓的高等线性代数，第二次推广是通过对角线嵌入正向极限的方法把矩阵群推至无穷维，通过无穷维矩阵群的若干特征来刻画原先的环。

    约定：R是含单位元1的环，但不要求交换，记R*=GL（1，R）是其单位群，一般R-模均指左R-模。

 

    我们先从K_0群开始，设R是含单位元1的环，它是K_0群就是有限生成投射R-模范畴P（R）上的Grothendieck群，具体定义为K_0（R）=F/R，其中F是P（R）上同构类的自由Abel群，R则表示由[P+Q]-[P]-[Q]生成的子群（这里关于环与模等代数结构的加号表示直和，下同）。

    一般而言，对任何有限生成投射R-模P，总能够找到R-模Q，使得对某个自然数n，P+Q=R^n. 这个定义的本质就是从R^n中把多余的Q减掉。对此，我们有一个一般叫做群完备化的模式：设S是含单位元的交换半群，其群完备化是定义为（x，y）∈S×S的等价类，其等价关系为：

        （x，y）~（u，v） iff 存在t∈S，使得x+v+t=y+u+t

    这里的定义要求投射模“有限生成”，因为对无限生成的投射模P，我们总能找到投射模Q，使得P+Q=Q，这样得到P的等价类平凡，最后的K_0群永远都也平凡的。

    从范畴的观点来看，这里的K_0可以视为环范畴到Abel群范畴的函子。对任何环R与S，K_0（R×S）= K_0（R）+K_0（S）. 对任何Morita等价的环，其K-理论是相同的，因此我们有Morita不变性：K_0 (M_n（R））= K_0 （R），对任何n≥1.

    我们从最简单的域（或更一般的除环）k开始计算，其上的（投射）模形如k^n，这样K_0群就是由指数n决定的，群完备化之后即有K_0（k）=Z. 更进一步，若R是（可能非交换的）局部环，依然有K_0（R）=Z，这个同构可以通过R→R/m诱导。

    通过这样思路，我们还可以得到半局部环的情形。若R是半局部环，则S=R/J（R）是半单的，因此是若干除环D_i（1≤i≤n）的矩阵环的积，这里n为R的极大理想数。由K-群的Morita性质，可得K_0（S）=Z^n，因此由K-群的函子性K_0（R）=Z^k，k≤n.

     R是PID的情形与之类似，由PID上有限生成模的结构定理，我们可得R上的有限生成投射模都是自由模，因此就有K_0（R）=Z. 作为此情形的一个推论，我们有下面的Quillen-Suslin定理：系数为域的多项式环上的有限生成投射模是自由模。

    这里的关键就是把有限生成投射模转化为自由模。先定义R是PF环，若R的任何有限生成投射左R-模都是自由模。此外，还隐藏了一个IBN性质，即R^n=R^m→n=m，它保证了自由模的秩是唯一的。若R∈IBN∩PF，则K_0（R）=Z.

    对PF环，我们还可以进一步分成两步：R是PSF环，若R的任何有限生成投射左R-模均为稳定自由模；R是SSF环，若R的任何有限生成稳定自由左R-模都是自由模，这样一来，我们有PF=PSF∩SFF，其中对K_0群有贡献的只是PSF，最后得到的结论是：R∈IBN∩PSF iff K_0（R）=Z，这就是【1】的命题1.7.

    若R是Dedekind整环，则K_0（R）=Z+Cl（R），其中Cl（R）是R的理想类群。这个主要Dedekind整环的理想性质决定的，在Dedekind整环内，对任何两个分式理想I与J，作为R-模有I+J=R+IJ，因此R的任何秩为k的投射R-模均可表示为R^(k-1)+I的形式，R的K_0群同构恰由R^(k-1)+I→（k，[I]）给出。

    这里的类群是代数数论中的概念，它使得K_0群可以出现挠元。这里只介绍一个最简单的例子R=Z [√−5]，其类群是由J=（2，1+√-5）给出的二阶挠群，因此K_0（R）= Z+Z/2.

 

    环R的K_1群可以定义为GL（R）的Abel化，这里GL（R）=lim GL_n（R）是n阶一般矩阵群 GL_n（R）的正向极限。我们还可以定义n阶初等矩阵群为 GL_n（R）的由I+ke_ij，k∈R生成的子群，E（R）=lim E_n（R）为正向极限。

    通过一些初等变化，我们有沟通一般矩阵群与初等矩阵群的Whitehead引理：对任何A∈GL_n（R），diag（A，A^(-1)）∈E_2n（R）. 由此可得，E（R）=[E（R），E（R）]=[GL（R），GL（R）]，进而有

        K_1（R）= GL（R）/[GL（R），GL（R）] = GL（R）/E（R）

对于交换环R，我们还可以定义：

        SK_1（R）= SL（R）/E（R）

这样得到的特殊K_1群与K_1群有如下关系：

        K_1（R）= SK_1（R）+ R*

    对K_1群的计算，在交换的条件下是比较好的。对一般的交换环，设R是交换环，则行列式det：GL（n，R）→R*可扩张为满射GL（R）→R*，由此给出可裂满射K_1（R）→R*.

    接下来我们自然会想，上述可裂满射在什么时候是同构的？我们从最简单的域k开始，设F是任何域，则有K_1（F）=F*. 这个结论只要通过矩阵的对角化就可以得到，是一个典型的线性代数技巧，此时还可以看出同构实际上是由行列式算子det诱导的。沿着这个思路，我们可以得到对（交换的）欧式环R，K_1（R）=R*.

    下面看Dedekind整环的情形，由交换代数的知识，我们知道Dedekind整环的任何理想都可以由两个元素生成。特别，对Dedekind整环R，存在a，b∈R，使得aR+bR=R，因此存在d，c∈R，使得ad-bc=1. 有趣的是，此时矩阵ae_11+be_12+ce_21+de_22∈SL（2，R）在SK_1（R）内的类与c与d选择无关，因此可以记作[a, b]，称为Mennicke符号， 它满足下列性质：

    （1）[a, b]=1，若a∈R*，b∈R

    （2）[a, b]=[b, a]=[a,-b]

    （3）若a_1a_2R+bR=1，则[a_1a_2, b]=[a_1, b][a_2, b]

    因此，Dedekind整环R的K_1群为：

            K_1（R）= SK_1（R）+ R* = {[a, b]；a，b∈R} + R*

其中SK_1（R）是挠群，这是因为对任何R的极大理想R/P是有限域，因此存在k，使得a^k≡1 mod b.

    对非交换的情形，先看最简单的除环。若R是除环，由包含R*→GL（R）可诱导出满射R*ab→K_1（R）. 主要可以通过行初等变换，把GL（n，R）变为diag[a，1，…，1]，注意到K_1（R）是Abel的，因此可以通过因子化得到此满射。

    接下来的情况会出现一些微妙的变化，主要问题是此时的矩阵没有良好的行列式概念。比如对{1，i，j，k}生成的四元数代数，有对角矩阵的乘积：diag（i，i） diag（j，j） = diag（k，k），但对应的行列式却是不成立的，解决这个问题的办法就是Abel化，考虑所谓的Dieudonne行列式。

     设R是环，记R*ab=R*/[R*，R*]，π：R*→R*ab是自然群同态，若群同态det：GL_n（R）→R*ab满足条件：

    （I）E_n（R）≤ ker det

    （2）det diag（a_1，…，a_n）= π（a_1…a_n）

    （3）自然包含I：GL_n（R）→GL_(n+1)（R）与det交换

则称det为GL_n（R）（或GL（R））上的Dieudonne行列式。

    若这样的Dieudonne行列式存在，则它满足下列行列式性质：

    （1）det在矩阵的初等行变换与转置的作用下保持不变

    （2）若A∈GL_n（R），a∈R*，A'由A是某一行乘以a后得到，则det（A’）= π（a）det（A）

    （3）若A∈GL_n（R），A'由A交换某两行后得到，则det（A’）= π（-1）det（A）

    （4）若A，B∈GL_n（R），则det（AB）= det（A）det（B）

    若R是除环，则由Dieudonne行列式det：GL（R）→R*ab诱导出K_1（R）=R*ab.

    对于（不必交换的）局部环R，我们也有类似的处理，最后得到：K_1（R）=R*ab.

   

    接下来看K_2群，先定义Steinberg群的概念。设R是环，R上的n≥3阶Steinberg群St（n，R）定义为满足下列条件的生成元x_ij（a），1≤i，j≤n，i≠j的自由群：

    （i）x_ij（a）x_ij（b）= x_ij（a+b）

    （ii）x_ij（a）x_kl（b）= x_kl（b）x_ij（a），若j≠k，i≠l

    （iii）x_ij（a）x_jk（b）x_ij（a）^(-1)x_jk（b）^(-1) = x_ik（ab），若I，j，k不同

    （iv）x_ij（a）x_ki（b）x_ij（a）^(-1)x_ki（b）^(-1) = x_kj（-ba），若i，j，k不同

    仔细观察，我们会发现这些性质实际上就是各初等矩阵e_ij（a），i≠j所具有的，其中x_ij（a）表示对角线为1，第（i，j）项为a，其余元素为零的矩阵。因此，可定义自然满射φ_n：St_n（R）→E_n（R），x_ij（a）→e_ij（a），通过自然包含，我们定义R上的Steinberg群St（R）=lim St_n（R），对应φ=limφ_n：St（R）→E（R）.

    环R的K_2群定义为K_2（R）= ker φ，可以证明，K_2（R）是St（R）的中心。这样，我们就得到了E（R）的中心扩张：

        0→K_2（R）→St（R）→E（R）→0 （*）

    对于一般的中心扩张，我们有这样的命题：中心扩张0→K→H→G→0是万有的 iff H是完全的，即H_1（H，Z）= H/[H, H}=0；并且H的任何中心扩张都是可裂的，即H_2（H，Z）=0. 此外，G有万有中心扩张 iff G是完全的。

    可以证明，St（R）与St_n（R），n≥3是完全的；St（R）与St_n（R），n≥5无不可裂中心扩张。因此，上面的扩张（*）就是E（R）的万有中心扩张，我们有

            K_2（R）= H_2（E（R），Z）

    对K_2群，我们主要处理的是交换环上的Steinberg符号。设R是交换环，可构造对K_1（R）⊙ _(K_0(R)) K_1（R），设α，β∈E（R）交换，定义积α★β = [π（α），π（β）]，这样定义的乘积满足下列条件：

    （1）若α_1，α_2与β交换，则（α_1α_2）★β = （α_1★β）（α_2★β）

    （2）对任何μ∈E（R），μαμ^(-1)★μβμ^(-1) = α★β

    （3）α★β = -β★α

      由这样的★积可以导出Steinberg符号，R*⊙_Z R*→K _2（R）为：

            （a⊙b）→{a，b}=diag[a，a^(-1)，1]★diag[b，1，b^(-1)]

这样的定义的符号满足Steinberg关系：若a，1-a∈R*，则在K_2（R）内，{a，1-a}=1

    由Steinberg符号，我们可以给出域上的K_2群，即下面的Matsumoto定理。设F是域，则K_2（F）是由满足下列关系的符号{a，b}表示的自由Abel群： 

    （1）{a_1a_2，b} = {a_1，b}{a_2，b}，对任何a_1，a_2，b∈F*

    （2）{a，b} = {b，a}^(-1)，对任何a，b∈F*

    （3）{a，1-a} = 1，对任何a∈F*\{1}

    由Matsumoto定理，可以证明有限域的K_2群是平凡的。

 

    下面我们要给出上述K_0，K_1，K_2的统一定义，为此先介绍一些基本概念。首先是分类空间（classifying space），离散拓扑群G的分类空间BG，可以视为Eilenberg-MacLane空间K（G，1），即满足基本群为G，高阶同伦群平凡的道路连通空间。这样的分类作用B实际上是群与同态范畴到拓扑空间（或CW复形的完全子范畴）与连续映射同伦类的函子。

    接下来是Quillen的加法结构，其中需要用到一些拓扑学构造，这里只给出最后的结论，想了解细节的可以参考【2】与【3】。设X是连通CW复形，N≤π_1（X）是完全正规子群，则存在空间X+与连续映射i：X→X+，满足条件：

    （1）i_*：π_1（X）→π_1（X+）是核为N的满射

    （2）对任何π_1（X+）/N-模L，i_*：H_*（X，i^*L）→H_*（X+，L）

    （3）i对于满足π_1（f）（N）=1的映射f：X→Y在同伦的意义上是万有的        

     对任何环R，将GL（R）视为带离散拓扑的拓扑群，记BGL（R）为其分类空间，可以定义

            K_i（R）= π_i（BGL（R）+），i≥1

这样的定义与前面的K_1，K_2群的一致的，其验证如下：

            π_1（BGL（R）+）= GL（R）/E（R）=  K_1（R）

            π_2（BGL（R）+）= π_2（BE（R）+）= H_2（BE（R）+，Z）= H_2（BE（R），Z） = K_2（R） 

其中第一个同构等号是因为BE（R）+是BGL（R）+的万有复叠空间，第二个同构等号是Hurewicz定理，第三个同构是上文中K_2群的性质。

    我们还可以引导出K_3（R）的定义，首先由正合列（*）得到同伦纤维化：BK_2（R）→BSt（R）+→BE（R）+，类似于K_2群可得：

            π_3（BGL（R）+）= π_3（BE（A）+）= π_3（BSt（A）+）= H_3（BSt（A）+，Z）= H_3（BSt（A），Z）≡ K_3（R）

     由经典直和：

            GL_n （R）×GL_m （R）→GL_(n+m)（R），（α，β）→diag[α，β]

可诱导出同伦意义上结合交换的直和+：BGL（R）+×BGL（R）+→BGL（A）+，因此BGL（A）+构成同伦交换的H-空间。

     高阶K-理论的计算是相当困难的，这里也只给出q元素有限域的结果，计算过程可以参考【4】的定理2.25：

            K_(2i)（F_q）= 0，i≥1

            K_(2i-1)（F_q）= Z/（q^i-1），i≥1

 

   下面我们把代数K-理论推广到范畴上，假定读者已经了解关于Abel范畴的初步知识。设A是Abel范畴，A的全加法子范畴P称为带正合列的范畴，简称正合范畴（exact category），若它满足下列两个条件：

    （1）P对扩张封闭，即对A内任何正合列，0→L→M→N→0，若L，N∈P，则M∈P

    （2）P有小骨架（small skeletal）子范畴Q，Q是P的小全子范畴，并且对任何M∈P，存在N∈Q在P内等价于M

     正合范畴的主要例子有：

    （1）任何带小骨架的Abel范畴，特别是小Abel范畴。

    （2）环R上的有限生成投射模范畴Proj R，它一般不是Abel范畴，因为投射模的余核未必投射。

    （3）环R上的有限生成R-模范畴R-Mod_fg，当R不是左Noether时，它一般不是Abel范畴，因为有限生成R-模映射的核未必有限生成。

    （4）带有限投射分解的R-模范畴R-Mod_fpr，它是R-Mod_fg的完全可加子范畴。若R是左Noether的且任何有限生成模均有有限投射分解，则R称为是左正则的，它包括PID与Dedekind整环，此时R-Mod_fpr=R-Mod_fg是Abel范畴。

    设P是带小骨架Q是正合范畴，定义K_0（P）为Obj（Q）模下列关系得到的自由Abel群：

    （i）[M]=[N]，若在P内M≌N

    （ii）[M]=[L]+[N]，若在P内有正合列：0→L→M→N→0   

    定义K_1群为对（M，α），M∈Q，α∈Aut（M）模下列关系得到的自由Abel群：

    （i）[（M，α）][（M，β）]=[（M，αβ）]

    （ii）[（M，γ）]=[（M，α）]+[（M，β）]，若存在正合列0→L→M→N→0，使得α∈Aut（L），β∈Aut（N），γ∈Aut（M）诱导正合列的交换图（请读者自己画出）。

    下面考虑关于环R的正合范畴的K-群。对环R，可以自然得到K_0（R）= K_0（Proj R），我们还有K_0（R）= K_0（Proj R），它可以通过下面的映射诱导：若A∈GL（n，R），它定义自同构α∈Aut（R^n），则[A]→[（R^n，α）]诱导出同构：K_1（R）→ K_1（Proj R）.

    接下来，我们定义G_i（R）= K_i（R-mod_fg），i=0，1. 可以证明。若R是左正则的，则由Proj R→R-Mod_fpr诱导出G_i（R）= K_i（R），i=0，1，此时，Proj R，R-Mod_fg与R-Mod_fpr上的K_i-群统一为环R上的K_i群，i=0，1。

    G_i（R）的作用在于可以在正合范畴上模拟同调代数，由此得到关于多项式环与Laurent环的G_i-群，若原先的环R是左正则的，那么就可以由此来计算K_i（R），i=0，1. 下面我们介绍几个最基本的结论，详细证明可以参考【2】.

    （1）Grothendieck定理：若R是左Noether环，则自然映射G_i（R）→G_i（R[t]），i=0，1与G_0（R）→G_0（R[t，t^(-1)]）都是同构。

    （2）Bass-Heller-Swan定理：若R是左Noether环，则自然嵌入G_1（R）+G_0（R）→G_1（R[t，t^(-1)]）是同构。

     对一般的环R，我们也有相应的Bass-Heller-Swan定理：

            K_1（R[t]）= K_1（R）+ NK_1（R）

            K_1（R[t，t^(-1)]）= K_1（R）+ K_0（R）+ NK_1（R）+ NK_1（R）

     在上述结论的启发下，我们还可以定义负K-群的概念：对n≥0，定义

            K_(-n-1)（R）= coker（K_(-n)（R[t]）+ K_(-n)（R[t^(-1)]）→K_(-n)（R[t，t^(-1)]））

再令

            NK_(-n)（R）= coker（K_(-n)（R）→K_(-n)（R[t]）

则有下面的代数K-理论基本定理：对任何环R与任何n∈N，存在自然分裂：

            K_(-n)（R[t，t^(-1)]）= K_(-n)（R）+ K_(-n+1)（R）+ NK_(-n)（R）+ NK_(-n)（R）

    在范畴的基础上，我们还可以定义高阶代数K-理论的Q-结构，首先我们要把范畴转化为拓扑空间。设C是小范畴，C的神经（nerve）NC指这样的单纯集，其单形是由C的各对象与态射组成的图X_0→X_1→…→X_n，第i阶面算子通过删去X_i将其前后箭头复合得到，第i阶退化算子为通过id：X_i→X_i代替X_i后得到。

   既然有了单纯型的结构，我们就可以把神经NC视为拓扑空间，也就是所谓的几何实现，于是就得到范畴C的分类空间BC。这样的分类空间与前面拓扑群G的分类空间有这样的联系，若C是只有一个对象*的且Hom（*，*）=G的范畴，则BC就是BG的模型，即BC是满足π_1（BC，*）= G且所有高阶群为零的连通CW复形。可以证明，范畴的等价将会导出分类空间的同伦等价。

    接下来，在正合范畴C上定义新的范畴QC如下：

    （i） Ob（QC）= Ob（C） 

    （ii） 态射X→Y由形如X←Z→Y的同构类组成，其中i：Z→Y是余核在C内的单射，称为可容许单射（admissible monomorphism），q：Z→X是核在C 内的满射，称为可容许满射（admissible epimorphism）

    （iii）两个态射X←Z→Y与Y←V→T可自然复合为Z←Z×_Y V→T 

    在这样的定义下，可以证明：π_1（BQC，{0}）= K_0(C） . 由此定义：

        K_i（C） = π_(i+1)（BQC，{0}）, i≥1

这就是Quillen的Q-结构定义。

    通过一系列复杂的证明，可以得到一个“Q=+”的定理：对任何环R，有

            ΩBQ（Proj R）≌ K_0（R）× BGL（R）+

这里的Ω是代数拓扑中的悬架，其作用是让K-群指标减1，因此就可以得到：

            K_i（R）= K_i（Proj R）, i≥0

 因此，由Q-结构定义的K-群与前面所定义的K-群是一致的。

         

   最后，个人来小结一下，到底什么是代数K-理论。实际上，低阶代数K-理论就是通过环上附加结构来研究环本身，这一点可以类比几何学通过流形上的向量束来研究流形。对于K_0群的情形，流形上的向量束就是相当于环上的有限生成投射模，对此我们还真有Serre-Swan定理，说紧Hausdorff空间X上的向量束范畴等价于C（X）上的有限生成投射模范畴。 对于代数K_1群与K_2群，需要把舞台从有限生成投射模扩展到环上的（无穷维）矩阵群，似乎就找不到直接的几何解释了。

    当这样附加结构发展到一定程度，就不再只是为了研究环的性质而存在，而是变成一种独立存在的数学对象。各种高阶K-理论的建立，把讨论的舞台转向代数拓扑，特别是同伦论与范畴论的领域，可以说标志着代数K-理论结构的真正独立。

  

    扩展阅读：

    【1】佟文廷. 代数K-理论[M]. 南京大学出版社, 2005. （唯一的中文参考书，主要介绍低阶代数K-理论与代数数论方面的应用）

    【2】Rosenberg J. Algebraic K-theory and its applications[M]. Springer Science & Business Media, 1994. （代数K-理论入门读物，以低阶理论为主兼顾高阶，对理论与应用平衡得很好，本文主要参考书）

    【3】Srinivas V. Algebraic K-theory[M]. Springer Science & Business Media, 2007. （代数K-理论进阶读物，主要侧重于高阶K-理论，也介绍了在代数几何与代数数论方面的应用）

    【4】Inassaridze H. Algebraic K-theory[M]. Springer, 1995. （代数K-理论进阶读物，介绍了各类不同形式的代数K-理论）

    【5】Friedlander E M. An introduction to K-theory[J]. Some recent developments in algebraic K-theory, ICTP Lect. Notes, 2008, 23: 1-77. （代数K-理论短篇讲义，兼顾拓扑K-理论与代数几何）

    【6】Weibel C A. The K-book: An Introduction to Algebraic K-theory[M]. American Mathematical Soc., 2013. （代数K-理论经典参考书，内容比较丰富全面）

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       Hartshorne的代数几何是不是很难理解啊？请看博文：Hartshorne代数几何概型部分学习指南