内射模（injective module）是环论中的一个非常重要的概念，通过Baer判定，这样的内射性质等价于任何理想的可扩张性，我们用单子模、主理想等简单概念代替任何理想，就可以得到关于内射模的很多有趣的推广。

    我们主要处理右R-模的情形，对左R-模都是类似定义的，对环的定义与模的情形一致。

    记r（Y）与l（Y）分别为Y的右零因子与左零因子，S_r与S_l分别为R作为右R-模与左R-模的底座（Socle），Z_r与Z_l分别为R作为右R-模与左R-模的奇异理想（singular ideal）.

 

    R-模M是内射模，若对任何右R-模的单同态f：A→B与任何R-同态g：A→M，总存在R-同态h：B→M，使得g=h·f. 换句话说，M是内射模 iff Hom（-，M）是（右）正合的。

    对内射模我们有著名的Baer判定：若对R的任何理想I，任何R-同态g：I→M可扩为h：R→M，则M是内射的。换句话说，我们可以取A为R的任何理想I，B=R来判定右R-模M的内射性。

    Baer判定带来了这样的启发，我们还可以在模上面定义（相对）内射模。设M与G是右R-模，G是M-内射的，若对M的任何子模X，任何R-同态g：X→G都可以扩张为R-同态h：M→G. 若模M自己就是M-内射的，则M称为拟内射的（quasi-injective）.

    对于相对内射模，我们有可以通过内射包（injective hull）来进行刻画。模G是M-内射的 iff 对任何R-同态f：E（M）→E（G），f（M）≤G. 由此可得下面的Johnson-Wong引理：模M是拟内射的 iff M在其内射包E（M）内的完全不变的，即对任何R-同态f：E（M）→E（M），f（M）≤M.

    由此可得，Z/p^n，n≥1作为Z-模就是拟内射的，但可以证明Q⊙Z/p作为Z-模不是拟内射的。

 

    所谓自内射环（self-injective ring），顾名思义就是环R自己作为右R-模是内射的。显然，整数环Z不是自内射的，但Z/nZ，n＞0就是自内射环。更一般的，若S是PRID（主右理想整环），b≠0满足bS=Sb，则商环R=S/bS总是自内射环。

   右自内射环是Morita性质，我们有如下等价命题：

   （1）R是右自内射的

   （2 ) M_n（R）是右（拟）连续的，n≥1

   （3）M_n（R）是右自内射的，n≥1

    这里的模M是连续的，指它满足下列条件（C1）与（C2）；是拟连续的，若它满足下列条件（C1）与（C3）：

   （C1）若M的任何子模在M的直和加项内本性

   （C2）M的任何同构于直和加项的子模的直和加项

   （C3）M的两个不相交的直和加项的直和还是直和加项

我们有（C2）→（C3），因此拟连续模都是连续的，更一般的关系如下：

        半单→拟内射→连续→拟连续→CS

    自内射环的自然推广是F-内射环，R是右F-内射环，若它的有限生成右理想都是可扩张的。右F-内射环满足良好的零因子条件，我们有下面的Ikeda-Nakayama引理：

    R是右F-内射环 iff 它满足下列零因子条件：

   （1）对R的任何右理想S与T，l（S∩T）=l（S）+l（T）

   （2）对R的任何有限生成左理想L，lr（L）=L

   在下文中，从这两个条件出发，我们将导出Ikeda-Nakayama环（简称IN环）与对偶环的概念。

 

    在抽象代数中，我们常常会考虑所谓的单对象，由此可以得到右极小内射模（mininjective module）的概念。右R-模M是极小内射的，若对任何R的单右理想K，任何R-同态g：K→M均可扩张为R-同态h：R→M. 实际上，这就相当于g=m·，这里m=g（1）.

    关于极小内射模，我们有下面的等价条件：

   （1）R是右极小内射的

   （2）若kR单，k∈R，则lr（k）=Rk

   （3）若kR单且r（k）≤ r（a），k，a∈R，则Ra ≤ Rk

   （4）若kR单且g：kR→R是R-线性的，k∈R，则g（k）∈Rk

    显然，多项式环R[x]都是极小内射的，因为它的底座是零。若一个环的右底座S_r作为左理想是单的，则由上面的等价条件（3）可得，它是极小内射的。

    我们还可以通过底座来刻画极小内射模，称R的右底座是非平方的，若它不包含某个单模的重复拷贝，对此我们有下列等价条件：

    （1）右底座S_r是非平方的

    （2）若kR单且g：kR→R是R-同态，则g（k）∈kR

    （3）若kR是单的，则lr（k）≤kR

    与前面右极小内射的等价条件相比，我们发现其中有一个kR与Rk的差异。为此我们定义环R是双环（duo ring），若对任何a∈R，aR=Ra. 这样我们就有：若R是双环，则R是右极小内射的 iff S_r是非平方的。

    记右R-模M的对偶为M*=Hom（M，R），它自然构成左R-模，若M=mR，则M*=lr（m）. 通过对偶，我们可以得到下列等价条件：

    （1）R是右极小内射的

    （2）对任何单右R-模M，M*是单或零

    （3）对R的任何极大右理想T，l（T）是单或零

    （4）对R的任何单右理想K，K*是单的

    为了排除这里可能为零的情况，我们引入Kasch条件。环R是右Kasch的，若任何单右R-模K均可嵌入R内，即R上生成K. 对此我们有下列等价条件：

    （1）R是右Kasch的

    （2）对任何有限生成右R-模M，M*≠0

    （3）对任何R的极大右理想T，l（T）≠0

    （4）对任何R的极大右理想T，rl（T）=T

    加上了Kasch条件，我们有下面的等价关系：

    （1）R是右Kasch右极小内射的

    （2）对任何单右R-模M，M*是单的

    （3）对R的任何极大右理想T，l（T）是单的

    在这个右Kasch右极小内射的条件下，R的极大右理想到极小左理想之间的映射T→l（T）是单射，它是双射 iff 对任何R的极小左理想K，lr（K）=K.

   

    与极小内射模类似，我们还可以定义主内射模（principally injective）的概念。右R-模M称为主内射模（简称P-内射模），若任何R-同态g：aR→M，a∈R均可扩为R→M. 我们有环R是正则的 iff 任何R-模都是主内射模。

    类似于极小内射环，我们也有下面的等价命题：

    （1）R是右P-内射的。

    （2）lr（a）=Ra，a∈R

    （3）若r（a）≤ r（b），a，b∈R，则Rb≤Ra

    （4）若g：aR→R是R-线性的，a∈R，则g（a）∈Ra

    与极小内射环的等价条件相比，我们发现省去了“若kR单“这个条件，显然有P-内射环都是极小内射环，反之则容易得到整数环Z与多项式环R[x]都是极小内射环，但却不是P-内射环。

    若R作为右R-模满足C2条件，则称R为右C2环，对此我们有下列等价条件：

    （1）R是右C2环

    （2）任何R-同构aR→eR，a∈R，e=e^2∈R可扩张到R上

    （3）若r（a）=r（e），a∈R，e=e^2∈R，则Re=Ra.

    （4）若aR是投射的，a∈R，则aR是R的直和加项

    比较两个等价条件的（3），可得右P-内射环是右C2环，但反之未必。我们可以取域F通过二维向量空间的平凡扩张R={ae_11+ve_12+ae_14；a∈F，v∈V}，它是交换局部C2环，但对V=uF=wF，ue_12a→ we_12a是ue_12R→R的R-同态，但它却是不可扩张到R上的，因此R不是P-内射环。

    右C2环是不是Morita性质，这个问题尚未有定论，但右P-内射性是不是Morita性质呢？为此我们来定义右n-内射模的概念。右R-模M称为n-内射模，若从R的任何由n个元素生成的右理想到M的R-同态都可以扩张得到R上，它有下列基本性质：

    （1）R是F-内射的 iff 对任何n≥1，R是n-内射的。

    （2）若M_n（R）是右P-内射环，则R是右n-内射环。

    （3）关于Kasch条件的2-内射引理：若R是右2-内射右Kasch的，则R是左P-内射的。

     假若右P-内射是Morita性质，则它一定是右n-内射的，但下文中Bjork的反例说明了存在右P-内射但非右2-内射的环，因此右P-内射环不是Morita性质。

    这里的关键问题是Morita性质不保持数量关系，为此我们定义FP-环。右R-模M称为FP-内射的，若对任何自由右R-模F的有限生成子模K，任何R-同态K→Q均可扩张为F→Q.

    P-内射的等价条件也可以类似推广，此时我们自然会出现矩阵，先记M^n与M_n的n个拷贝直和的行与列矩阵。关于右R-模Q的下列条件是等价的：

    （1）Q是FP-内射的

    （2）若K≤R_n是有限生成的，则任何R-同态K→R都可以扩张到R_n上

    （3）若q∈Q^n，A∈M_n（R）满足r_(R_n)（A）≤r_(R_n)（q），则对某x∈Q^n，q=xA

    （4）若q∈Q^n，A∈M_(m×n)（R）满足r_(R_n)（A）≤r_(R_n)（q），则对某x∈Q^m，q=xA

    FP-内射环的意义，体现在下列等价条件中：

    （1）R是FP-内射的

    （2）若a_1，…，a_m与b∈R^n满足∩(1≤i≤n)r_(R_n)（a_i）≤r_(R_n)（b），则b∈Σ(1≤i≤n)Ra_i.

    （3）M_n（R）是右P-内射的，对任何n≥1

    由（3）可得，若R是FP-内射环，则任何n≥1，M_n（R）是右P-内射环，故R是右n-内射环，因此R是F-内射环。反之，F-内射环是不是一定是FP-内射环呢？这个问题至今尚未解决，一个比较好的结论是在右半遗传环R上，右R-模的F-内射与FP-内射是等价的（参见【4】）.

     下面我们来加上Kasch条件，利用这里的Morita性质与2-内射引理，我们可以得到满足Kasch条件的右FP-环一定是左PF-环，此时它满足一系列的良好条件：  

    （1）对R的任何有限生成右理想T与左理想L，rl（T）=T且lr（L）=L

    （2）左理想K≠0极小 iff r（K）极大

    （3）若右理想T≠0极大，则l（T）极小

    （4）S_l=S_r在R内本性且J=Z_l=Z_r

 

    极小内射环要求原像是单的，我们还可以定义一类像为单的简单内射环（simple injective ring）. 环R是右简单内射环，若对R的任何右理想T，使得g（T）为单R-同态g：T→R可扩张到R上。可以证明，这里g（T）为单的条件可以放宽到半单且有限生成。

    显然，右底座为零的环一定是简单内射的，而简单内射环一定的极小内射的。反之，Z是简单内射的但不是P-内射的，更复杂一点的例子包括Camillo，Clark与Bjork的反例，我们将放到文章末尾来统一处理。

     设R是右Kasch的右简单内射环，则R满足下列性质：

    （1）对任何右理想T，rl（T）=T

    （2）R是左P-内射的

    （3）S_r=S_l

    更多的良好条件需要考虑双边性质，我们定义R是对偶环（dual ring），若对R的任何右理想T与左理想L，rl（T）=T且lr（L）=L. 在对偶环内，对任何右理想族{T_i；i∈I}与左理想族{R_i；i∈I}，有

        l（∩(i∈I)T_i）= Σ(i∈I)l（T_i），r（∩(i∈I)L_i）=Σ(i∈I)r（L_i）

    对偶环R有下面良好性质：

    （1）R是右且左Kasch的

    （2）S _r=S_l

    （3）R是右且左连续的

   更进一步，我们有R是对偶环 iff R是双边Kasch的双边简单内射环。

    借助于对偶环，我们可以得到一个令人惊讶的结论，简单内射环不满足Morita性质。为此可取R为Chark的例子，则S=M_n（R）是左与右Kasch的，进而是对偶环，因此还是左与右连续的，右自内射环的Morita性质可得R是自内射的（！）

    与对偶环相应，我们还有IN环。R是右IN环，若对任何右理想S与T，有

         l（S∩T）=l（S）+l（T）

由此可知，任何右（P-内射的）IN环都是F-内射环，还可以证明右IN环都是右拟连续的。而对偶环则等价于左右IN且任何单右R-模的对偶是单的。

    结合上面关于右自内射的Morita等价命题，我们有R是右自内射环 iff M_n（R）是右IN环，n≥2.  但Z是IN的，却不是自内射的，同时也不是对偶的。

 

    最后，我们把关于内射模的各类环的包含关系与反例小结如下：   

      


    （1）Camillo的例子：令R=k[x_1，…，x_n]/（x_ix_j=0，若i≠j；x_i^2=x_j^2≠0，任何i，j；x_i^3=0，对任何i），其中jk是域。这样的环R是局部交换环，J=span{m，x_1，…，x_n)，其中m=x_1^2. Soc（R）=km单，故R是（带单本性底座的）极小内射环。

    下面取k=Z/2，定义g：J→R为g（a）=a^2，有g（J）=Z/2m单，但g不可扩张到整个R上，故此时的R不是简单内射的，更不是自内射的。

    （2）Clark的例子：取离散赋值环D=k[[x]]，k是域，记其单位群是U，商域Q={up^k；u∈U，k∈Z}，定义左D-模V=Q/.D与v_m=p^(-m)+D∈V，m≥0. 取R为D通过V的平凡扩张，即R=D+V，其乘法定义为（d+v）（d'+v'）=dd'+（dv'+d'v），这样得到的R有理想格：0=Rv_0＜Rv_1＜Rv_2＜…＜V＜…＜Rx^2＜Rx＜R.

    显然，V=∪Rv_m是唯一的非主理想，而且V无极大子模，故有R是P-内射与简单内射的，而R-同态g：V→R；g（0+dv_m）=0+dv_(m-1)不能扩张到R上，故R不是自内射的。

    （3）Bjork的例子：设F是域，有同构a→a~给出F→F~＜F，记R是基为{1，t}的左向量空间，通过t^2=0，ta=a~t，a∈F构成右F-代数，这样得到的R有唯一真左理想J=Rt=Ft，因此它是右P-内射的。

    令X≠Y是F的一维F~-子空间，有右R-同态g：Xt+Yt→Xt自然定义为g（xt+yt）=xt，它是不可扩张的，因此这样的R是右P-内射但不是右2-内射的。考虑它的若干直和，可以得到一般右n-内射不是右（n+1）-内射的例子。

 

     扩展阅读：

    【1】Lam T Y. A first course in noncommutative rings[M]. Springer Science & Business Media, 2013. （初级环论参考书，主要讲非交换环的基本结构）

    【2】Lam T Y. Lectures on modules and rings[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （中级环论参考书，更多的强调了同调代数的方法）

    【3】Nicholson W K, Yousif M F. Quasi-Frobenius Rings[M]. Cambridge University Press, 2003. （高级环论参考书，可以与【1】和【2】组合为环论三部曲，本文主要参考书）

    【4】Sánchez Campos E, Smith P F. Generalizations of injective modules[J]. Int.electron.j.algebra, 2012:96-110. （与内射模有关的论文，包括了一些比较新的结论）

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     量子群中的代数结构是非常丰富的，请看博文：浅谈量子群的基本代数结构