Gorenstein环是自内射维数有限的交换环，它是型为1的Cohen-Macaulay环，还是与其典型模（canonical module）同构的交换环，它是Cohen-Macaulay环理论的一个比较活跃的领域，与同调代数和环论也有一定的联系，下面我们主要对局部环讨论它的基本性质。

    约定：R是Noether交换环，所有R-模都是有限生成的。

   

    我们先从模的内射维数（injective dimension）开始，定义R-模M射维数inj dim M≤n，若M的内射分解0→M→E^0→E^1→E^2→…中，E^k=0，若k＞n.

    对此我们可以用Ext函子进行刻画，有

           inj dim M≤n iff 对任何R-模N，Ext^(n+1)（N，M）=0 （Ext函子定义）

                                iff 对任何R的理想I，Ext^(n+1)（R/I，M）=0 (Baer判定）

                                iff 对任何p∈Spec（R），有Ext^(n+1)（R/p，M）=0

第三个iff来自于更一般的命题：若对任何p∈Supp（N），Ext^n（R/p，M）=0，则Ext^n（N，M）=0. 这个命题可以通过Noether模的因子链分解与Ext函子的可加性来证明。

    由此我们可以得到Noether局部环（R，m，k）上模M的内射维数计算公式：

            inj dim M = sup{i；Ext^i（k，M）≠0}

其证明可能用到下面的递推引理：设p≠m为R是素理想，若对任何q∈V（p），q≠p，Ext^(n+1)（R/q，M）=0，则Ext^n（R/p，M）=0.

    我们还可以把这个内射维数的计算推到更一般的情形，得到下面的Bass公式：若inj dim M＜∞，则

            depth M + sup{i；Ext^i（M，N）≠0} = inj dim N

当M=k时，它就是上面的内射维数计算公式；当M=R时，我们可以得到一个令人惊讶的结论：

            depth R = inj dim N

它说明了所有内射维数有限的模N，其内射维数都是相同的，都等于环R的深度。

    把上面的两个公式相减，我们可以得到：

            depth R - depth M = sup{i；Ext^i（M，N）≠0}

它说明M是极大Cohen-Macaulay环（简称MCM），若对任何内射维数有限的R-模N，Ext^i（M，N）= 0，若i≥1.

    更进一步，我们可以证明：dim M ≤ inj dim M. 在inj dim M＜∞时，令M=R，就有depth R = inj dim R = dim R，此时R是Cohen-Macaulay环. 因此不妨定义局部环R是Gorenstein的，若它的自内射维数有限，即inj dim R＜∞，这样我们就有Gorenstein环一定是Cohen-Macaulay的。

    按照这个定义与内射维数的计算公式，我们可以得到两个划约命题：

   （1）局部环R的Gorenstein的 iff 其完备化R^是Gorenstein的

   （2）若x是R的正则序列，则局部环R是Gorenstein的 iff R/（x）是Gorenstein的        

既然完全相交环被定义为其完备化是正则局部环对正则序列的商，那么我们就有完全相交环一定是Gorenstein的。

 

    要对Gorenstein环进行具体刻画，我们可以通过正则列把它化为零维。由定义可得，零维的Gorenstein环就是内射环，而由Hopkins–Levitzki定理，0维Noether环就是Artin环，因此我们得到零维Gorenstein Noether环就是Artin内射环，即所谓的（交换）拟Frobenius环。一般PID对非零元素的商，比如Z/nZ，都是拟Frobenius环。

    有人也许会问：不加“拟”的Frobenius环是什么？对此我们有这样的定义：R是Frobenius环，若R是拟Frobenius环且满足Soc（R）=R/J，其中J是R的Jacobson根。下面我们会看到，在交换条件下，这里的“拟”字是可以去掉的。

     对一般局部环（R，m）上的模M，我们可以定义它的底座（socle）为m在R内的零因子。对于多项式环的单项理想的商，我们可以把它视为多项式环上的模，通过画格子的方法得到其底座（见下图）.

        

    我们知道，任何R都可以被嵌入某个内射模M，存在一个包含R-模M的最小内射模，记作E_R（M），同时它也是M是极大本性扩张，称为M的内射包（injective hull）。特别是M=k的情形相当常见，我们不妨直接记E=E_R（k），得到局部环的四元组（R，m，k，E）.

     设（R，m，k）是零维Noether局部环，则

          R是内射的 iff rank Soc（R）=1 iff E_R（k）= R iff 0是不可约理想

     处理这个等价条件的一个直接方法，就是利用内射模的结构定理：E=⊙（R/p）^μ_p，这里p取遍Spec（R），μ_p=rank Hom（R_p/pR_p，M_p）与分解无关。实际上，这里的μ_p就是局部环R_p上模M_p的零阶Bass数，更一般的Bass数可以通过其内射分解得到。

    此外，我们还可以通过朴素的方法来讨论，主要就是证明在Artin环内，Soc（R）在内是本性的，后者可以用Artin模的性质直接证明，也可以引用环论中的结论。在环论中，我们有更一般的结论，Soc（M）是所有以M为本性扩张的模的交（参见【4】），再由Artin性质就可以得到Soc（M）必然也是其中的一个。

    通过这个等价条件里的底座，我们很容易判定零维的Gorenstein环，由此可以给出0维Cohen-Macaulay环不是Gorenstein环的例子：R=k[x,y]/(x^2,xy,y^2)；还有0维完全相交环不是Gorenstein环的例子：R=k[x,y,z]/(x^2-y^2,y^2-z^2,xy,yz,zx)，它有唯一的底座Soc（R）=x^2（=y^2=z^2）.   

    把零维的情形加以推广，我们就得到一般的结论：设（R，m，k）是d维Noether局部环，则

        R是Gorenstein的 iff inj dim R=d iff R是Cohen-Macaulay的且rank Ext^d（k，R）=1 iff R是Cohen-Macaulay的且R的某个（或任何）参数系均生成不可约理想

    对d维局部环（R，m，k）上的模M,，rank Ext^i（k，M）称为M是Bass数，记作μ_i（M），特别，d阶Bass数μ_d（M）= rank Ext^d（k，M）称为M的型（type）。上述等价条件表明：Gorenstein环就是型为1是Cohen-Macaulay环。

 

    下面我们看一类特别的Gorenstein环R=S/I，其中S是正则局部环（更常见的是多项式环），代数几何中仿射代数簇的坐标环就属于此类。显然，当I由正则列生成时，R=S/I就是完全相交环，自然也就是Gorenstein环。

    Gorenstein环的型为1的条件，使得这样的环S的极小自由分解具有S→……→S→S/I→0的形式，特别是对于小余维数（≤3）的情形，它就可以是完全对称的。典型的结论是下面的Buchsbaum-Eisenbud定理（参见【1】或【6】）：设S是n维正则局部环，I是S的高为3的理想，则R=S/I是Gorenstein的 iff I由（2n+1）×（2n+1）阶交错矩阵的2n阶Pfaff形式生成，这里的Pfaff形式就是行列式的平方根。此时，R在S上的极小自由分解形如0→S→S^(2n+1)→S^(2n+1)→S→R→0，其中中间的箭头就是矩阵A的乘法。

    Gorenstein的对称性还表现所谓单项平面曲线上，它形如k[S]，S=（t^p，t^q，t^r），其中p，q，r∈N（这里选三个字母是为了方便，这个数目可以是其他自然数）.  我们把由p，q，r生成的半群称为S的数值半群，不妨依然记作S，并记c=max{a∈N，a-1∉S}，称为数值半群S的引导数（conductor）. 数值半群S称为对称的，若它满足对任意0≤i≤c-1，i∈S iff c-1-i∉S

    我们的基本结论就是：这样的k[S]是Gorenstein环 iff S是对称半群。这样结论的证明需要通过Hilbert多项式来处理，有兴趣的读者请参考【1】.

    下面我们来看两个例子，数值半群S={3，4，5}的导引数为c=8，因此它不是对称的，这样R=k[t^3,t^4,t^5]就是不Gorenstein环。通过这样的方法，我们可以构造很多一维的Cohen-Macaulay环却不是Gorenstein环的例子。而对数值半群S={6，7，8，9，10}，其导引数c=12，因此它就是对称半群，对应的R=k[t^6,t^7,t^8,t^9,t^10]就是Gorenstein环。

 

    下面我们来讨论典型模的概念，它是在Cohen-Macaulay局部环R上定义的，有限生成R-模C是R上的典型模，若它满足下列三个条件：

    a）C是MCM，即depth C= depth R

    b）C的型是1，即μ_d（C）=1，这里d=depth R

    c）C的内射维数有限，即inj dim C＜∞

这三个条件可以用Bass数集中概括为：μ_i（C）=1，若i=d；否则μ_i（C）=0. 有的书把满足这一条件的模称为对偶模（duality module），这里就说明了在交换局部环上，典型模实际上就是对偶模。

    对于典型模，我们有下面的简单例子：

    （1） R是Gorenstein环 iff R与其典型模同构。

    （2）若（R，m，k）是零维局部环，则R的典型模同构于E=E_R（k）.

    同时我们还有下面的约化性质：若环R的典型模C存在，则

    （1）C是R的典型模 iff C^是R^的典型模 

    （2）设x是C的正则序列，若C是R的典型模，则C/xC是R/xR的典型模

     下面我们讨论典型模的存在唯一性，先假设Cohen-Macaulay局部环（R，m，k）的典型模C是存在的，由同构约化性质（2），我们可以把问题转化到零维。这里需要一个引理：若f：M→N是有限R-模同态，x是N-序列，若f⊙R/x：M/xM→N/xN是同构，则f：M→N也是同构。实际上，我们之所以把典型模定义在Cohen-Macaulay上，正是因为Cohen-Macaulay的参数系就是正则列，使得我们可以很方便的把问题化为零维情形来处理。

     对于零维的情形，我们可以引入对偶函子D（M）=Hom（-, C），有M是内射模→D（M）是投射模→D（M）是自由模（因为R是局部环），即有对某个n，D（M）=R^n→M=D（D（M））=C^n. 换句话说，R的任何内射模都是典型模的直和，特别，其典型模一定是同构于C的。

 

    最后我们来看典型模的存在性，有人也许会这样想，我们同样可以用约化性质化到零维，而零维局部环的典型模一定存在，因此所有Cohen-Macaulay局部环的典型模都是存在的。遗憾的是，这个结论是不正确的，问题在于约化性质的预设前提就是典型模存在，因此它就是一个循环论证。事实上，我们的结论是：R的典型模存在 iff R是Gorenstein环的同态像。

    这里的存在性实际上是搬运的Gorenstein环的典型模，为此我们需要这样的引理：设R→S是Cohen-Macaulay局部环的局部同态，使得S是有限生成R-模，令t=dim R-dim S，若C是R的典型模，则Ext^t（S，C）是S的典型模。

    下面我们来说明，D=Ext^t（S，C）确实满足典型模的三个条件：取I为C的极小内射分解

    a）D是MCM：归纳d=dim S，d=0时，由深度的Rees定理，i＜t时，Ext^i（S，C）=0；由内射维数公式，i＞t时，Ext^t（S，C）=0.

    b）D的型是1：记R与S的剩余域分别为k与l，有

            Hom（l，Hom（S，I））= Hom（l，I）= Hom（l，k）⊙Hom（k，I）

取上同调得到：

            Ext^i（l，D）= Ext^i（l，Ext^t（S，C）) = Hom（l，k）⊙Ext^(i+t)（k，C）

取i=dim S即可得到。实际上，若取i的其他值，我们可以得到关于D的Bass数刻画μ_i（D）=δ_(id)，这里d=dim S。

    c）D的内射维数有限：Hom（S，I）是有限内射分解，Ext^t（S，C）只是平移了t个单位，因此其内射维数还是有限的。

    反之，假若Cohen-Macaulay环R的存在典型模C，可以构造R与C的半直积R*C，它就是我们所需要的是Gorenstein环。对此同样可以化为到零维，此时有Soc（R*C）= Soc（R*E）= Soc（E）=1.

    这样一来，我们可以得到两类典型模存在的环，一是正则局部环的商环，像代数几何中一般仿射代数簇的坐标环，都属于此类；二是完备的Cohen-Macaulay环，这是因为由Cohen结构定理，完备局部环都是正则局部环的商。不存在典型模的Cohen-Macaulay环，即它不是Gorenstein环的商，也是确实存在的，有兴趣的读者可以去研究【7】.

 

    扩展阅读：

   【1】Winfried Bruns, H. Jürgen Herzog. Cohen-macaulay rings[M]. Cambridge University Press, 1998. （交换代数高级参考书，第三章详细介绍Gorenstein环与典型模，本文主要参考资料）

   【2】Eisenbud D. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry[M]. Springer Science & Business Media, 1995. （新颖别致的交换代数参考书，第二十一章介绍Gorenstein环与典型模，对底座的处理令人眼前一亮）

   【3】Iyengar S. Twenty-four hours of local cohomology[M]. American Mathematical Soc., 2007. （介绍局部上同调理论的极品入门好书，自带简明交换环小结，第十一章讲Gorenstein环与典型模）

   【4】Iversen B. Lecture Notes on Local Rings[J]. World Scientific Publishing, 2014. （深入介绍局部环与局部上同调理论的参考书，普遍使用同调代数的方法）

   【5】Anderson F W, Fuller K R. Rings and categories of modules[M]. Springer Science & Business Media, 1992. （关于环论的经典参考书，强调范畴与对偶的观点，可以看到底座与拟Frobenius环等概念）

   【6】Huneke C. Hyman Bass and ubiquity: Gorenstein rings[C]//Algebra, 𝐾-theory, groups, and education. 1999: 55-78. （介绍了Gorenstein环的基本背景，也包括了很多经典例子）

   【7】Marinari M G. Examples of bad noetherian local rings[J]. Nagoya Mathematical Journal, 1978, 70: 105-110. （包括不存在典型模的Cohen-Macaulay环的例子）

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      典型模在局部对偶定理中是必需的，请看博文：浅谈局部上同调及其对偶定理