代数D-模是指Weyl代数上的模，Weyl代数是一类常见的非交换环，因此代数D-模理论与环论、表示论和量子群等代数领域关系密切，同时Weyl代数的伴随分次代数是复空间，通过模的零因子作用又可以与代数几何和辛几何相联系，最后它还是微分算子的代数形式，与算子理论和微分方程有密切关系，特别在层论的推动下还产生微局部分析的领域（参见【4】）。本文不引入层论语言讨论几何性质，主要是对其代数基础做一个简要概述。

    约定：基域k的特征为零，未加声明的模均指左模。

 

    我们先从Weyl代数开始介绍，它源于量子力学中的位置算符与导子算符。考虑n元多项式环k[X]上的如下算子：

        x_i（f）=x_i·f；D_i（f）=Df/Dx_i

它们满足基本的对易关系：对任何1≤i，j≤n，有

    （1）[D_i, x_j] = δ_ij·1

    （2）[D_i, D_j] = [x_i, x_j] = 0 

    n阶Weyl代数A_n可以被定义为n元多项式环上由各x_i与D_j生成的自同态环的子代数，也可以将x_i与D_j作为生成元，由上述对易关系作为生成关系抽象的定义。下面是A_n的基本性质：

    （1）它作为向量空间有形容x^αD^β，α，β∈N^n的基

    （2）A_n是整环

    （3）A_n是单代数

    （4）A_n是左Noether环

    A_n的元素自然作用在k[X]上构成左A_n模，它是不可约的挠模，有

        k[X] = A_n/ΣA_nD_i

 

    在A_n上，我们定义x^αD^β的次数为α_1+…+α_n+β_1+…+β_n，一般元素的次数则定义为各项次数的最大值。定义其Bernstein滤B_k由A_n的所有次数≤k的元素组成，记作B. 由Bernstein滤诱导出的伴随分次代数S_n = gr^B A_n 同构于域k上的2n元多项式环。

    左A_n-模M上（关于Bernstein滤的）滤Γ={Γ_i}定义为满足下列条件的有限维K-向量空间族：

   （1）Γ_0 ≤ Γ_1 ≤ … ≤ M

   （2）∪Γ_i = M

   （3）B_iΓ_j ≤ Γ_(i+j)

    为了方便，我们还约定Γ_j=0，若j＜0.

    给定这样的滤，我们可以定义其伴随分次模为：gr^Γ（M）= Σ(i≥0) Γ_i/Γ_(i-1). 特别，我们有gr^Γ（A_n）=S_n同构于k上2n个元素的多项式环。

    Γ关于Bernstein滤是好的，即伴随分次模gr^Γ（M）是有限生成的。为了方便起见，下面就把这样的滤叫做好滤。

    对左A_n模M，M上的滤是好滤 iff 存在k，使得对任何n≥k，Γ_(i+n) = B_iΓ_n.

 

    对于A_n-模M，可以像交换代数中的分次模一样定义维数与重数，为此要先介绍Hilbert多项式的概念。

    定理：设M=⊙M_I是多项式环k[x_1,…,x_n]上的有限生成分次模，则存在多项式χ（t），使得对充分大的s，有

       Σ（0≤i≤s）dim（M_i） = χ（s）

这样的f就称为M的Hilbert多项式。

    设M是有限生成左A_n模，Γ是M关于Bernstein滤的好滤，则分次模gr^Γ（M）在多项式环S_n上的Hilbert多项式为：

        χ（t，Γ，M）= Σ（0≤i≤t）dim（Γ_i/Γ_(i-1)）= dim Γ_t

定义M的维数d（M）为χ（t，Γ，M）的次数，设a_d(M)为χ（t，Γ，M）的首项系数，则M的重数定义为m（M）= d！a_d(M).

    若M = A_n，有χ（t，Γ，M）= （t+2n；2n），d（A_n）= 2n，m（A_n）= 1.

    若M = k[X]，有χ（t，Γ，M）= （t+n；n），d（k[x]）= n， m（k[x]）= 1

    事实上，这两个例子恰恰就是A_n-模维数的上下界，我们有如下不等式：对有限生成的A_n-模M，有n ≤ d（M）≤ 2n，其中≥n的部分叫做Bernstein不等式。

    对有限生成左A_n-模的正合列：0→N→M→M/N→0，在M上给定的好滤Γ可以自然诱导到子模N与商模M/N上，由此得到：

    （1）d（M）= max{d（N），d（M/N）}

    （2）m（M）= d（N）+ d（M/N）

    由此可得，对任何非零左理想I，有d（A_n/I）≤ 2n-1

 

    有限生成左A_n-模M称为完整的（holonomic），若M=0或其维数d（M）=n. 由上面的结论可得，k[X]是完整模；当n=1时，对A_1的任何非零左理想I，A_1/I是完整模、可以证明：完整A_n-模的子模与商模都是完整的，完整模的有限直和是完整的。

    完整模有下列基本性质：

   （1）完整模是挠模

   （2）完整模是Artin的

   （3）完整模是循环的

   （4）完整模的长不超过其重数，由此可得长为1是完整模是不可约的

    对完整模。我们有这样的判定定理：设M是带（关于Bernstein滤的）滤Γ={Γ_i}的左A_n模，假若存在常数A，B，使得

            dim Γ_i ≤ Aj^n/n!+B(j+1)^(n-1)

则M是完整A_n-模且其重数m（M）≤A. 特别，M是有限生成的。

    取p为k[X]内的多项式，考虑滤Γ_i={f/p^k；deg（f）≤（deg（p）+1）^k}，由上面的定理可以得到左A_n-模M=k[X，p^(-1)]是完整的且其重数m（M）≤（deg（p）+1）^n.

 

    下面我们看一下A_n-模M的特征簇（characteristic variety），在M上给定好滤Γ，令ann（M，Γ）为gr^Γ（M）在gr^Γ（A_n）=S_n内的零因子，这个零因子的根I（M）=rad （ann（M，Γ））称为M的特征理想，可以证明它与好滤Γ的选择无关。我们定义M的特征簇为：Ch（M）=Z（I（M））≤C^(2n).

    对有限生成左A_n-模的正合列：0→N→M→M/N→0，其特征簇也有相应的关系：

        Ch（M）= Ch（N）∪Ch（M/N）

    特征簇的维数就是相应模的重数：设M是有限生成左A_n-模，则dim Ch（M）= d（M），由此可以通过辛几何的方法重新证明Bernstein不等式。

 

    下面是代数D-模之间的基本运算，首先就是它们的张积（external product：直译应该是外积，但我们已经把exterior product称为外积了，既然它是在张量积的基础上定义的乘积，称为张积应该是比较自然的）。设A与B是k-代数，在张量积A⊙B上定义乘积如下：

        （a⊙b）（c⊙d）= ac⊙bd

这样就得到代数k-代数A与B之间张积，一般记作A⊙^B.

    对于张积，我们有下面的简单结论：

   （1）k[X]⊙^k[Y] = k[X×Y]

   （2）A_m⊙^A_n = A_(m+n)

    若M是带好滤Γ（M）的有限生成左A_m-模，N是带好滤Γ（N）有限生成左A_n-模，则

   （1）M⊙^N是有限生成左A_(M+N)-模

   （2）M⊙^N带好滤：Γ（M⊙^N）= Σ(i+j=k)Γ_i（M）Γ_j（N）

   （3）有伴随分次模的同构：gr_k（M⊙^N）=  Σ(i+j=k)gr_i（M）gr_j（N） 

   （4）维数关系：dim（M⊙^N）= dim（M）+dim（N）

   （5）重数关系：m（M⊙^N）≤ m（M）m（N）

   （6）若M，N是完整的，则M⊙^N也是完整的。

                                                         

    接下来是代数D-模的逆像（拉回）与正像（推出），先看一个最简单的情形，关于左模的逆像。设F：X→Y的多项式映射，X=k^n，Y=k^m，则对左A_m-模M，可视其为K[Y[-模，定义其逆像为k[X]上的模：F^*（M）= k[X]⊙_k[Y] M，这里k[X]在F^*（M）上的作用为：对任何q∈k[X]，u∈M，令

        D_i（q⊙u）= D_i（q）⊙u + ∑(1≤k≤m)qD_i（F_k）⊙d_k（u），i=1，…，n

这里D_i，d_k分别是X与Y内第i项与第k项的导子。可以验证，这样定义的导子D_i与数乘x_j满足Weyl代数的基本对易关系。

    在这个基础上，我们可以处理其他情形。为此记D_(X→Y) = F^*A_m = k[X]⊙_(k[Y]) A_m，它实际上是A_n-A_m-双模，我们就可以就有F^*M=D_(X→Y)⊙_(A_m) M.  再考虑D_(Y→X)为D_(X→Y) 的转置（transportion），它是A_m-A_n-模，由此可以得到一般情况的定义为： 

F：X→Y	左模M	右模N
逆像（对A_m-模）	F^*M = D_(X→Y) ⊙_(A_m) M	F^*N = N⊙_(A_m) D_(Y←X)
正像（对A_n-模）	F_*M = D_(Y←X) ⊙_(A_n) M	F_*N = N ⊙_(A_n)  D_(X→Y)

 下面我们看一下逆像与正像是特殊情况，即投影与嵌入。依然令X=k^n，Y=k^m，先看自然投影π：X×Y→Y，若M是左A_m-模，π^*M=k[X]⊙^M，它满足下列性质：

 （1）若M是有限生成左A_m-模，π^*M是有限生成左A_(m+n)-模

 （2）d（π^*M）= n+d（M）

 （3）m（π^*M）≤ m（M）

 （4）若M是完整A_m-模，则π^*M是完整A_(m+n)-模

 对标准嵌入i：X→X×Y，若M是左A_(m+n)-模，则i^*M=M/（Y）M.值得注意的是，这里对嵌入的拉回并不是保持有限生成性，因此对于嵌入我们更多考虑的是正像。若N是左A_n-模，则i_*N=k[d_y]⊙^N，它满足下列性质：

 （1）若N是有限生成左A_n-模，则i_*N是有限生成左A_(m+n)-模

 （2）d（i^*M）= m+d（M）

 （3）m（i_*M）≤ m（M）

 （4）若N是完整A_n-模，则i_*N是完整A_(m+n)-模

 

 有了嵌入关系，我们可以开始讨论Kashiwara定理，考虑标准嵌入i：X→X×k，令M是左k[X，y]-模，H是X×k内的超平面y=0，定义M的支集在H上的子模为：

        Γ_H（M）= {u∈M；u由y的幂零化}
易知Γ_H（M）构成M的子模。朴素版的Kashiwara定理就是说

        l_*（ker_M y）≌  Γ_H（M）.
令M_0=ker_M y，有l_*（M_0）= k[d_y]⊙^M_0，它到Γ_H（M）的同构映射可以由f⊙u→fu给出。

 由此我们可以得到一个推论，若A_(n+1)-模M的支集在H上，则M ≌ l_*（ker_M y）.

 更精致的Kashiwara定理是用范畴的语言来叙述的，记M^n是左A_n-模与模同态构成的范畴，M^(n+1)（H）是支集在H内的模构成的M^(n+1)的完全子范畴，我们有M是M^(n+1)（H）的对象 iff  Γ_H（M）=M.

 这样可以范畴等价的形式来阐述Kashiwara定理：设i：X→X×k是标准嵌入，H是方程y=0表示的超平面，则正像函子i_*：（M^n）→M^(n+1)（H）是范畴等价。事实上，我们可以构造K：M^(n+1)→（M^n）：K（M）= ker_M H作为i_*的逆，然后通过朴素版的Kashiwara定理来验证。

 我们可以把它推广到高维嵌入的情形，设i：X→X×Y，Y是由y_1=…=y_m=0定义的子空间，定义M的支集在Y上，若它的支集在{y_i=0}上，i=1，…，m，M^(m+n) （Y）是支集Y上的A_(m+n)-模构成的M^(m+n) 的完全子范畴，这样得到完全版的Kashiwara定理：i_*:M^(n)→M^(m+n) （Y）是范畴等价。

 

 扩展阅读：

 【1】Coutinho S C. A primer of algebraic D-modules[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. （代数D-模入门的极品好书，用纯代数观点清晰简明的叙述D-模理论，本文主要参考书）

 【2】Joseph Ayoub Introduction to algebraic D-modules（一份代数D-模的在线讲义，80%的代数+20%的几何，下载地址：www.math.uzh.ch/index.php?file&key1=14027）

 【3】Milicic D. Lectures on algebraic theory of D–modules[J]. University of Utah, 1986. （20%的代数+80%的几何，下载地址：www.math.utah.edu/~milicic/Eprints/dmodules.pdf）

 【4】Kashiwara M. D-modules and microlocal calculus[M]. American Mathematical Soc., 2003. （直接从几何角度介绍D-模理论与微局部分析的领域）

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    量子群中包含着异常丰富的代数结构，请看博文：浅谈量子群的基本代数结构