Stanley-Reisner环（又称为面环（face
ring））把代数拓扑中单纯复形与多项式的单项商环联系起来，可以说是一张通向组合交换代数的入场券，下面就来介绍一下关于它的基本内容。
先看Stanley-Reisner环的定义，设k是作为系数的交换环，给定任何一个顶点集为{v_1，…，v_n}的单纯复形Δ，Δ关于k的Stanley-Reisner环是指齐次k-代数：
k[Δ] =
k[x_1，…，x_n]/I_Δ
其中I_Δ是由所有使得不属于Δ的单形（v_iv_j…v_k）所对应的单项式x_ix_j…x_k生成的理想，也称为Stanley-Reisner理想。即
I_Δ = {m；m∉Δ}
这个定义的要点就是各顶点v_i对应原子单项式x_i，若干顶点构成的单形（v_iv_j…v_k）对应原子单项式的积x_ix_j…x_k.
请注意，这里各原子单项式的下标都是不同的。换句话说，生成Stanley-Reisner理想的各单项式都是平方自由的，即不含任何平方项因子。
反之，给定平方自由的单项理想I，我们也可以得到它的Stanley-Reisner环复形
Δ_I =
{m；m∉I}
可以证明它们满足这样的自反关系：
I_(Δ_I) =
I，Δ_(I_Δ) = Δ
对于平方自由的单项理想m，n，有m整除n iff
对应的单纯复形m∈n，由此说明它们的自然序关系是一致的。
对于Stanley-Reisner理想I_Δ，我们有如下公式：
I_Δ = ∩B_F
其中F取遍Δ的所有极大面（facet），B_F是指由各不属于F的v_i对应的X_i生成的理想。
这个结论实际上就是Stanley-Reisner理想的准素分解，对于平方自由的情形而言，被分解项可以取为极小素理想，后者正好是与各极大面相对应的。
由此我们的可以得到Stanley-Reisner环的维数计算公式：
dim k[Δ] = dim Δ+1
此外，我们还有Stanley-Reisner环的深度计算公式：
depth k[Δ] = max{r；
Δ的r维骨架是Cohen-Macaulay的}+1
这个公式涉及下文中的Cohen-Macaulay复形，并不适合直接用来计算。 对于深度的一个简单结论是：若Δ是不连通的单纯复形，那么
depth k[Δ] = 1.
Stanley-Reisner理论的关键是单纯复形的几何性质与对应Stanley-Reisner环的代数性质之间的转换。先看一个简单的数量关系，（d-1）维单纯复形的f-向量就是它的各维面的个数f=（f_0，f_1，…，f_（d-1）），f_0就是其顶点数，f_1就是边的个数，…，f_d就是其极大面的个数。Δ的Euler数定义为e（Δ）=
f_0-f_1+f_2-…+（-1）^(d-1)f_(d-1)
由此可以计算k[Δ]的（Z^n分次的）Hilbert多项式，有
H _k[Δ]（t）=
Σ（F∈Δ）Σ（a∈N^n,supp（a）=F）t^a
=
Σ（F∈Δ）Π（v_i∈F）t_i/（1-t_i）
=
Σ（i=-1，…，d-1）f_it^（i+1）/（1-t）^（i+1）
对于Stanley-Reisner环，我们有所谓的h-向量，它是通过其Hilbert多项式定义如下：
H
_k[Δ]（t）=h_0+h_1t+…/（1-t）^d
比较上述两式，可以得到f-向量与h-向量之间的关系：
Σh_it^i =
Σ（i=0，…，d）f_(i-1)t^i（1-t）^(d-i)
得到
h_j =
Σ（i=0，…，j）（-1）^(j-i)（d-i，j-i）f_(i-1) 且 f_(j-1) =
Σ（i=0，…，j）（d-i，j-i）h_i
其中（m，n）表示m个元素中取n个元素的组合数。
特别，我们可以得到几个容易计算的公式：
h_0 =1，h_1 = f_0-d，h_d =
（-1）^(d-1)E（Δ）且Σ（i=0，…,d）h_i = f_(d-1)
其中E（Δ）=
e（Δ）-1是Δ的约化Euler数，也可以视为Δ的约化上同调的交错和。
我们还需要Stanley-Reisner环的局部上同调，先引入一些几何概念。设Δ是单纯复形，F是其顶点子集，F的星（star）定义为：
s t_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ}
而F的连接（link）定义为：
lk_Δ（F）={G∈Δ；F∪G∈Δ，F∩G=∅}
一般作为整个单纯复形的下标Δ是可以省略的。
设Δ是单纯复形，k是域，则局部上同调模H^i(k[Δ])的a分量是：
H^i(k[Δ])_a = H~_(i-|G_a|-1)（lk_(H_a)（G_a；k））
进而其（Z^n分次的）Hilbert多项式为：
H_H^i(k[Δ])（f）=Σ(F∈Δ)dim H~_(i-|F|-1)（lk
F；k）∏(v_j∈F) （t_j）^（-1）/（1-（t_j）^（-1））
上述公式就是关于Stanley-Reisner环局部上同调的Hochster未发表公式。
下面我们来看一些常见的复形，它们大致可以分为代数定义的与拓扑定义的。由拓扑定义的单纯复形（比如纯复形、Euler复形等）是不依赖于系数的，而由代数定义的单纯复形（比如Cohen-Macaulay复形、Gorenstein复形等）则可能会依赖于系数。比如射影平面P^2的系数为域k的一阶约化同调群当char
k=2时为k，否则为零。由下面关于Cohen-Macaulay复形的Reisner判定可得，射影平面P^2对域k是Cohen-Macaulay复形
iff char k≠2.
有的文献上也直接定义Cohen-Macaulay复形为某个域上的Cohen-Macaulay复形，但下文不会再对系数做特别讨论，这里约定其系数为任意给定的域k.
单纯复形称为纯的，若它的极大面都有相同的维数。单纯复形Δ称为k上的Cohen-Macaulay复形，若对应的Stanley-Reisner环是Cohen-Macaulay的。显然，零维复形一定是Cohen-Macaulay的。在Cohen-Macaulay环中，所有的极小素理想都有相同的高，因此Cohen-Macaulay复形一定是纯的。
单纯复形称为有壳的（shellable），若它存在有序面F_1，F_2，…，F_n，使得对任何1＜j≤n，（∪(i=1，…，j-1)F_i）∩F_j是F_j边界的极大面的非空并。可以证明，有壳的复形一定是Cohen-Macaulay的。
对n个顶点的d-1维的Cohen-Macaulay复形，我们有如下的上界定理：若其h-向量（h_0，…，h_(d-1)），则有0≤h_i≤（n-d+i-1，i），0≤i≤d，其中组合数（n-d+i-1，i）恰为循环多面体C（n，d）的h-向量。
由此可得，若单纯复形Δ是由两个仅在一点c相连的二维单形abc和cde组成的蝴蝶结复形（bow-tie），那么Δ是纯的，却不是Cohen-Macaulay的，因为它的f-向量为（5，6，2），进而h-向量是（1，2，-1），不满足Cohen-Macaulay复形的上界定理。此外，我们还可以直接看出，它并不是有壳的复形。
文献[1]的定理5.1.15表明，我们不能通过h-向量来区分Cohen-Macaulay复形与有壳的复形，Cohen-Macaulay的非有壳复形的典型例子是笨伯帽（dunce
cap），由代数拓扑知识可以得到，它是约化Euler数为0的可缩空间，满足下面关于Cohen-Mcaulay复形的Reisner判定，其非壳性的说明则需要用到可分拆复形（partitionable
complexes）中的有序壳外的唯一极小元素（可参见[2]），假若笨伯帽是有壳的，那么最后的壳元素的唯一极小元素是它本身，这就意味着笨伯帽的h_3≠0，这与其约化Euler数为零矛盾（详见[3]）.
Cohen-Macaulay的典型特征可以通过其上同调来刻画如下：设Δ是单纯复形，k是域，则有
Δ在k上的Cohen-Macaulay的
iff H~_i（lk
F；k）=0对所有F∈Δ与i＜dim lk F成立 （Reisner）
iff 对X=|Δ|，H~_i（X；k）=0，若i＜dim
X. （Munkres，Stanley）
第一个等价关系的证明主要是用文中的Hochster未发表公式与Cohen-Macaulay环的局部上同调性质：设dim
Δ=d-1，则Δ是k上的Cohen-Macaulay环 iff H^i（C·）=0，若i＜d，其中C·为Δ对应是Koszul复形
iff H~_i（lk F；k）=0，对所有F∈Δ，i＜dim lk F.
有时我们也把约化同调写成相对同调的形式：对任何p∈X，有
H~_i（X；k）=H_i（X，X\{p}；k）
接下来看Gorenstein复形，单纯复形Δ在域k上是Gorenstein的，若k[Δ]是Gorenstein的。对于Gorenstein复形，我们一般可以化为core来处理。定义core
Δ=Δ_(core V)，其中core V={v∈V；St v≠Δ}. 我们有Δ=core Δ*Δ_(V\core
V)，进而
k[Δ]=k[core Δ]⊙k[Δ_(V\core V)]=k[core
Δ][X_i；v_i∈V\core V]
因此，Δ是Gorenstein的 iff core
Δ是Gorenstein的。
满足条件Δ=core
Δ的Gorenstein复形又称为Gorenstein*复形，这个条件的意思就是复形Δ不能有所谓的星型中心。非Gorenstein*复形的Gorenstein复形的简单例子是线段ab，其中a与b都可以视为星型中心；还有两个线段ab与bc连接得到的复型，其中b是星型中心。对于三个或三个以上线段相连的直链，尽管没有星型中心，但用下面同调判定，可以说明它们已经不是Gorenstein复形了。
设Δ是单纯复形，k是域，令Γ=core Δ，则有
Δ在k上是Gorenstein的
iff 对所有F∈Γ，H~_i（lk
F；k）=0，若i＜dim lk F；H~_i（lk F；k）=k，若i=dim lk F
iff 对X=|Γ|，H~_i（X；k）=0，若i＜dim
X；H~_i（X；k）=k，若i=dim X.
Gorenstein环就是型为1的Cohen-Macaulay环，对于Cohen-Macaulay环的情形，i=dim
lk F的约化同调正好体现了这一点。
Euler复形主要是类比多面体来定义的，单纯复形Δ是Euler复形，若Δ是纯的，且对所有F∈Δ，E（lk
F）=（-1）^dim lk F.
这样的定义使得其h-向量满足Dehn-Sommerville方程：若Δ是（d-1）维Euler复形，其h-向量为h=（h_0，h_1，…，h_（d-1）），则h_i=h_(d-i)，i=0，…，d.
其证明过程还可以得到Euler复形Δ的k[Δ}的Hilbert多项式的互反性质：
H_k[Δ]（t^(-1)）=（-1）^dH_k[Δ]（t）
由此还可以诱导出k[Δ]与其典型模同构，因此我们有如下的结论：若复形Δ满足条件Δ=core
Δ，则Δ是k上Gorenstein复形（也是Gorenstein*的） iff
Δ是在k上为Cohen-Macaulay的Euler复形。
这样一来，要找一个Cohen-Macaulay复形不是Gorenstein*复形，只要找一个h-向量不对称的有壳复形就可以了。比较简单的例子就是由三个一维单型ab，ac与ad在唯一公共顶点a处连接得到的Y型复形Δ，它显然是有壳的，但其h-向量为（1，3，0），不满足Dehn-Sommerville方程，因此它就不是Euler复形，因而不是Gorenstein*复形。当然，我们可以直接看出这个Δ有星型中心a，不满足条件Δ=core
Δ，而Γ=core
Δ=（b，c，d），X=|Γ|的约化同调为H~_0（X；k）=k+k，可见Y型复形不仅不是Gorenstein*复形，而且还不是Gorenstein复形！
最后，我们可以把这些单纯复形的相互关系小结如下：
扩展阅读：
[1]
Winfried Bruns, H. Jürgen Herzog. Cohen-macaulay rings[M].
Cambridge University Press, 1998.
（交换代数专精读物，第五章介绍Stanley-Reisner环，本文主要参考书）
[2]
Stanley R P. Combinatorics and commutative algebra[M]. Springer
Science & Business, 2007. （交换代数组合理论的入门书）
[3]
Kolins S. Notes For Algebraic Methods in Combinatorics[J]. 2008.
（交换代数组合理论的入门讲义）
[4]
Francisco C A, Mermin J, Schweig J. A Survey of Stanley–Reisner
Theory[M]//Connections Between Algebra, Combinatorics, and
Geometry. Springer New York, 2014: 209-234.
（交换代数组合理论的概要小结）
[5]
Miller E, Sturmfels B. Combinatorial commutative algebra[M].
Springer, 2005. （专门的组合交换代数参考书）
加载中，请稍候......
加载中…
(2014-10-15 13:53:18)