约定：本文中提到的流形都是光滑的。
简单来说，流形上余维q的叶状结构（foliation）就是把n维流形分解成若干（n-q）维局部平凡的浸没子流形。这样的叶状结构一般被视为非交换几何的研究对象，它在微分几何中沟通了很多领域，本文就对它的几何性质做一个小结。
下面看流形上叶状结构的技术性定义，在n维流形M的余维q的叶状卡（foliation
atlas）（0≤q≤n）指M的卡f_i：U_i→R^n = R^（n-q）×
R^q，其卡替换同胚局部形如：
f_ij（x，y）=（g_ij（x，y），h_ij（y））
M的余维q的叶状结构就是指M上的最大n-q维叶状卡。
各叶状卡内f_i^（-1）（R^（n-q）×{y}），y∈R^q的连通分支称为板（plaque），在流形上连成整体的板称为叶（leaf），所有的叶给出了M上也叶状结构F，带叶状结构F的流形M称为叶状流形（foliated
manifold），记作（M，F）.
实际上，M内的叶定义出一个等价关系：x～y iff
x与y位于同一个叶。由此可以作商得到叶空间M/F，称为叶状结构（M，F）的叶空间。一般来说，叶空间可以不是Hausdorff的。
下面看叶状结构几个典型例子：
1）纤维束（fibre
bundle，大陆的数学工作者一般称它为纤维丛），其纤维就是天然的叶，由此可见叶状结构就是纤维束的推广。
2）淹没（submersion），流形上的淹没映射f：M→N自然定义出叶状结构，其各叶是f^(-1)(y)，y∈N的连通分支，这样的叶状结构称为简单叶状结构（simple
foliation）. 假若各纤维f^(-1)(y)，y∈N都是连通的，那么得到的叶状结构称为严格简单叶状结构（strictly
simple foliation）. 简单叶状结构是严格简单的 iff
其叶空间是Hausdroff的。实际上，纤维束结构就是简单叶状结构的特例，但并不是所有的简单叶状结构都是纤维束，比如下面的Reeb叶状结构。
3）Reeb叶状结构：考虑淹没f：R^2→R，f（x，y）=（x^2-1）e^y，由它给出的叶状结构在x=±1时有奇异性，因此就不是纤维束。类似的结构可以被推广到的高维，其图示参见[4]的Part
II.1.
4）环面上的Kronecker叶状结构：取定某个无理数θ，在环面S^1×S^1上，其叶可以由f_a：R→S^1×S^1，f_a（t）=（e^2πit，ae^2πiθt）给出。这个叶状结构中的每个叶都是环面上的一条稠密轨道，它不是简单叶状结构。
对于n维流形M上的q维叶状结构F，我们还有其他的等价定义：
1）Haefliger上环定义：对M上的开覆盖{U_i}，有淹没s_i：U_i→R^q，使得同胚r_ij：s_j（U_i∩U_j）→s_i（U_i∩U_j），满足r_ij·s_j=s_i.
这里的r_ij满足上环恒等式，称为表示F的Haefliger上环.
2）可积子束定义：通过TM的秩为n-q的可积子束E定义。这里的可积性就是说E在李括号的作用下封闭。
3）外微分理想定义：通过外微分分次代数Ω（M）内秩为q的局部平凡微分分次理想J来定义。这里局部平凡性是在任何点都有局部开邻域U，使得J|U由q个线性无关1-形式生成，而理想J是微分的指dJ∈J.
假若我们把最先的叶状结构定义记作0），那么0）与1）的等价实际上是平行于纤维束的，2）中的可积子束E实际上就是各叶的切束，而2）与3）的等价则是微分流形上的Frobenius定理。
直观的看，叶状流形（M，F）可以分成“横向”的叶与“纵向”的截面。这是类比于纤维束来理解的，只不过在通常的示意图中，纤维束的纤维是竖直的，而叶状结构的叶却是水平的。叶状结构的一般性质就是保持其叶不变的截面性质，对于可定向性，则就有叶的可定向性与截面的可定向性的区别。
设x，y是在M的同一叶L上，α是L内从x到y的道路，若存在一个叶状卡U包含α，取T与S分别为过x与y的截面，定义hol（α）为内从x到y的微分同胚芽，称为α在L内关于横截T与S的完整群（holonomy
group）. 一般若是x与y不在一个叶状卡内，则可以通过叶状卡的“接力”与完整群的复合实现。
可以证明，同伦的道路诱导相同的完整群。对x点的截面T，我们有L的完整同态hol：π（L，x）→Diff_x（T）=Diff_0（R^q），其像Hol（L，x）称为L的完整群。L内从x到y的两个道路α与β有相同的完整结构，若hol（αβ^（-1））=1，这是定义在同伦道路上的等价类，称为完整等价类。
我们还可以定义叶状流形（M，F）的完整群胚（holonomy groupoid）为：
G（F）={（x，hol（α），y）；存在叶L包含x，y与道路α从x到y}
其对象G^0=M，复合由完整群的复合自然诱导。
对于简单叶状结构而言，其完整群是平凡的。可以认为，完整群在一定程度上刻画了叶状结构偏离简单的程度。
对所有叶都是紧致的且有有限完整群的叶状流形（M，F），其叶空间M/F有轨形（orbifold）结构，其完整群就是轨形M/F的迷向群。
下面看几个特殊叶状结构，先是Riemann叶状结构。流形M上的余维q叶状结构F是Riemann的，若（M，F）带有横截度量，即向量场空间V(M）上的正C^∞（M）-双线性形式g，使得
1）ker（g_x）=T_x（F）， 对任何x∈M
2）L_X（g）=0，对任何M上切于F的向量场X
其中条件1）使得g是法束N（F）的Riemann结构沿着标准投影T（M）→N（F）的拉回，而条件2）则是在局部坐标卡f_i：U_i→R^n
= R^（n-q）× R^q内决定了形式g如下：
g_ij =
g（d/dy_i，d/dy_j）
并且
dg_ij/dx_k
= 0，对任何i，j，k成立
由此可见，Riemann叶状结构主要就是在法束上面定义的，其横截面有自然的Riemann结构。这样的Riemann结构决定一个横截度量
iff
它是完整不变的。实际上，Riemann流形上的完整群就是叶状结构完整群的特别，具体来说就是流形上的切束关于Levi-Civita联络的完整群。
Riemann叶状流形有一个非常良好的性质：假若它的所有叶都是紧的，那么它就一定有有限完整群，进而可以满足下面的局部Reeb稳定性定理的条件。
下面我们看另一类重要的叶状结构，叫做李叶状结构（Lie
foliation）。对此我们要流形M关于李代数g的Maurer-Cartan形式出发，它是指M上的g-值1-形式ω，满足平凡曲率条件：
dω+[ω，ω]/2=0
ω称为非奇异的，若对任何x∈M，ω_x：T_x（M）→g是满射。
流形M上的叶状结构F，若存在李代数g及其上的非奇异的Maurer-Cartan形式ω，使得codim F = dim g且T（F）=
ker ω，则它称为是李叶状结构。
直观来看，李叶状结构的横截部分对应李群，其叶的部分则对应李群的切束。正如李群的具有可平行化性质，李叶状结构也是横截可平行化的。为此我们要先介绍一下概念，首先定义叶向量场的李子代数V
（F）的李理想：
L（M，F）={Y∈V（M）; [V（F），Y]≤V（F）}
由此可定义商李子代数：
l（M，F）=L（M，F）/V（F）
余维q的叶状流形（M，F）是横截可平行化的，就是指在l（M，F）存在q个横截向量场生成法束。
横截可平行化的叶状流形有一系列良好的性质，其完整群是平凡的，同时存在截面度量，因此可以被赋予Riemann叶状结构。假若是紧连通流形上的横截可平行化叶状结构，那么它还是齐性的（homogenous），这里（M，F）是齐性叶状流形，是指保持叶的自同构群Aut（M，F）在M上的作用是可迁的。
由叶的紧致性与完整群的有限性，可以得到叶状流形的几何结构，这一系列结论被称为Reeb稳定性定理。下面我们简述若干Reeb稳定性定理，其详细证明参见[1]的第二章。
先看局部Reeb稳定性定理：对带有限完整群的紧叶L，存在L在M内的饱和开邻域V与同胚L' ×_H
T→V，使得叶状结构F限制在V上对应L' ×_H T上平坦纤维束的叶状结构。
这里开邻域的饱和的，指它又若干叶的并构成，而L' ×_H
T=L''×_π（L，x_0）T，其中L''是L的万有复叠且π（L，x_0）通过完整同态π（L，x_0）→H作用在T上。我们可以L'视为基点x_o到L内点x的完整等价类。H在L上的作用就是自然右作用：[α][η]=[αη]，其中η是x_0处表示hol（η）∈H的圈。
这个定理就是说，满足相应条件的叶状结构在局部可以表示为平坦纤维束的形式。事实上，当我们选定好截面T之后，这个局部的纤维束可以由L' ×
T→M，（[α]，y）→hol（α）（y）自然诱导，最后取V=∪（y∈T）L_y.
对于整体稳定性定理，我们这里只讨论余维1的情形：若F是紧连通流形M上的余维1横截可定向叶状结构，并且带有有限基本群的紧叶L_0，则F是由纤维束投影φ：M→S^1的纤维给定的叶状结构。特别，F的所有叶都是同胚于L_0，因此都是紧的。
在这个定理中，紧叶L_0的基本群有限条件，可以改为其一次de
Rham上同调群平凡，这就是整体Reeb-Thurston稳定性定理。对于一般叶非紧的叶状结构，其结构是比较复杂的。
最后看两个关于三维流形上关于余维1叶状结构的经典定理，详细证明见[1]的第三章。
Haefliger定理：S^3上没有余维1的解析叶状结构。
Novikov定理：若F是基本群有限的三维紧流形上余维1的横截定向叶状结构，则F有紧叶。
叶状结构的内容相当丰富，还包括其特征类理论的Godbillon-Vey类，上同调理论的Gelfand-Fuks上同调，还可以建立关于叶状结构的指标定理，有兴趣的读者可以参阅文献[2]与[4].
扩展阅读：
[1] Moerdijk I, Mrcun J. Introduction to
foliations and Lie groupoids[M]. Cambridge: Cambridge University
Press, 2003. （关于叶状结构与李群胚理论的简明教材，本文的主要参考书）
[2] Candel A, Conlon L. Foliations I and II,
Graduate studies in Mathematics 60[J]. American Math. Society,
2003. （详细介绍叶状结构各方面理论的专著，内容相当的丰富）
[3] Author
unknown，General theory of foliations theory，INDIAN INSTITUTE OF
TECHNOLOGY BOMBAY Department of Mathematics，2008.
www.isical.ac.in/~foliation/fol.pdf
（关于叶状结构的短篇入门讲义）
[4] Piotr M. Hajac（Editor），Lecture notes on
noncommutative geometry and quantum groups 2008
www.mimuw.edu.pl/~pwit/toknotes/toknotes.pdf （非交换几何套装，其中Part II
Foliations, C*-algebras and index theory by Paul F. Baum and Henri
Moscovici涉及到叶状结构的指标定理）
看完了非交换几何的叶状结构，再来看一下辛几何哈，请看博文：浅谈辛几何与辛流形
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