先从Hopf代数开始，假设读者已经掌握基本的Hopf代数结构（H，μ，η，Δ，ε，S）（参见[2])，这里只讨论两个常见的例子。一是群代数k[G]上的Hopf代数结构，从元素x∈G出发，可以得到满足关系Δ（x）=x⊙x的元素，称为类群元素（grouplike element）。在一般Hopf代数中，所有的类群元素确实构成一个群。第二个是李代数g的万有包络代数U（g),从元素x∈g出发，可以得到满足关系Δ（x）=1⊙x+x⊙1的元素，称为本原元素（primitive element）。

    还有一个重要的例子就是李代数sl（2）的量子包络代数U_q=U_q(sl(2)),它由四个变量E，F，K，K^(-1)生成，满足基本关系：

        KK^(-1)=K^(-1)K=1，KEK^(-1)=q^2E，KFK^(-1)=q^(-2)F，[E,F]=(K-K^(-1))/(q-q^(-1))

它实际上是以{E^iF^jK^l}_i,j≥0，l∈Z为基的无零因子的Noether环。当q=1时，它可以被还原成李代数sl（2）的包络代数U=U（sl（2））.

    在U_q上，我们可以定义这样的双代数结构：

        Δ(E)=1⊙E+E⊙K，Δ(F)=K^(-1)⊙F+F⊙1，Δ(K)=K⊙K，Δ(K^(-1))=K^(-1)⊙K^(-1)

        ε(E)=ε(F)=0，ε(K）=ε(K^(-1))=1

进而定义其Hopf代数结构为：

        S(E)=-EK^(-1)，S(F)=-KF，S(K)=K^(-1)，S(K^(-1))=K

    Hopf代数U=U(sl(2))与SL(2)之间存在着对偶关系，我们也可以类似得到SL_q(2)与U_q之间的对偶关系。

 

    接下来我们考虑双代数上的辫结构。设（H，μ，η，Δ，ε）是双代数，它是拟上交换的，若存在H⊙H内的可逆元素R，使得对任何x∈H，有

        Δop(x)=RΔ(x)R^(-1)

这里的元素R称为万有R-矩阵。

    拟上交换的双代数（H，μ，η，Δ，ε，R）称为辫的（braided），若其万有R-矩阵满足条件：

        (Δ⊙id)(R)=R_13R_23, (id⊙Δ)(R)=R_13R_12

可以证明，对于辫双代数（H，μ，η，Δ，ε，R），其万有矩阵满足所谓的Yang-Baxter方程：

        R_12R_13R_23=R_23R_13R_12

以及关系：

        （ε⊙id)(R)=1=(id⊙ε)(R)

    假若把双代数升级为Hopf代数，我们可以对应得到辫Hopf代数（H，μ，η，Δ，ε，S，R），满足关系：

        （S⊙id)(R)=R^(-1)=(id⊙S)(R)

与

        （S⊙S)(R)=R

    辫Hopf代数D称为带状代数（ribbon algebra），若存在D的中心元素θ，满足关系：

         Δ(θ)=(R_21R)^(-1)θ⊙θ

与

        ε(θ)=1

    下面我们要考虑的一个概念是张量范畴，它还有一个名称叫做幺半范畴（monoidal category）（参见[4]）。在同调代数理论中，Hom函子与张量积函子的地位相仿，但是在范畴理论中却只有Hom函子得到了公理化升级，直到后来研究扭结、量子群等理论，才算是让张量函子重新有了点地位，但这似乎并不是必需的，从逻辑上完全可以类比Hom函子在范畴中引入张量积的概念，得到所谓的张量范畴。

    在范畴C内引入张量积，就是构造一个张量函子⊙：C×C→C：

    1）给定C的对象V与W，引入新的张量对象V⊙W

    2）给定态射f与g，引入新的张量态射f⊙g，满足条件：

    2.1）s(f⊙g)=s(f)⊙s(g), b(f⊙g)=b(f)⊙b(g)，这里s与b分别表示态射的源（source）与靶（target）

    2.2）若f'与g'也是C的态射，满足s(f')=b(f)，s(g")=b(g)，则

        （f'⊙g')·(f⊙g)=(f'·f)⊙(g'·g)

    2.3)id_V⊙W=id_V⊙id_W

    一般意义上的张量范畴要考虑一个结合律算子与左右约束算子的问题，这将使得我们的运算变得非常繁琐，这里我们默认结合律总是成立的，并且自然等同V→I⊙V与V⊙I→V，其中I是张量范畴内的单位，这就得到所谓的严格张量范畴。可以证明，任何张量范畴都等价于某个严格张量范畴（见[1]XI.5）.  

    约定：如无特殊声明，下文中所提到的张量范畴均为严格张量范畴。

    在严格张量范畴上，我们也可以定义辫结构。对于张量范畴C内的任何对象U与V，定义自然映射c_U,V:U⊙V→V⊙U，若它还满足条件：

        c_U,V⊙W=(id_V⊙c_U,W)(c_U,V⊙id_W), c_U⊙V,W=(c_U,W⊙id_V)(id_U⊙c_V,W)

那么这样就得到辫张量范畴（C，⊙，c）. 这样的辫结构还满足所谓是十二边形关系：

        （c_V,W⊙id_U)(id_V⊙c_U,W)(c_U,V⊙id_W)=(id_W⊙c_U,V)(c_U,W⊙id_V)(id_U⊙c_V,W)

    这样定义的辫张量范畴与前面的辫双代数有什么关系呢？对于双代数（H，μ，η，Δ，ε），其模范畴H-Mod是辫的 iff H的辫双代数。

    严格张量范畴可以由基本的缠结图（tangle diagram）生成，这使得我们可以用缠结图的几何方式来演示证明上述繁琐的关系（详见[1]). 事实上，这样的做法在辫群理论就已经出现了，用几何辫图可以直观看出运算结果，这样的缠结图则是在上述基础上的推广。

    在带单位的张量范畴上，我们还可以定义对偶星结构。设(C，⊙，I)是带单位的张量范畴，其（左）对偶是指对C的各对象V，在C内存在对象V*与态射b_V:I→V⊙V*与d_V:V*⊙V→I，满足条件：

        (id_V⊙d_V)(b_V⊙id_V)=id_V, (d_V⊙id_V*)(id_V*⊙b_V)=id_V* 

    由这样的对偶，我们可以定义态射f：U→V的转置为f*：V*→U*如下：

        f*=(d_V⊙id_U*)(id_V*⊙f⊙id_U*)(id_V*⊙b_U)

    这样定义出来的对偶星结构，具有下面的基本性质：

    1）对任何f：V→W与g：U→V，有

        (f·g)*=g*·f*；(id_U)*=id_U*

    2）对任何U，V与W，有

        Hom(U⊙V,W)=Hom(U,W⊙V*)，Hom(U*⊙V,W)=Hom(V,U⊙W)

    3）对任何U与V，有

        (U⊙V)*=V*⊙U*

    通过对偶，我们还可以表达辫关系：对任何U与V

        c_U*,V=(d_U⊙id_(V⊙U*))(id_U⊙(c_U,V)^(-1)⊙id_U*)(id_(U*⊙V)⊙b_U)

    在带对偶的张量范畴C上，我们可以定义扭子（twist）为以C的对象V为的指标一族自然同构θ_V：V→V，满足关系：

        θ_(V⊙W )=θ_V⊙θ_Wc_W,Vc_V,W

        θ_V*=(θ_V)*

它还满足下列关系：

        θ_(V⊙W)=c_W,Vc_V,Wθ_V⊙θ_W=c_W,Vθ_W⊙θ_Vc_V,W

        θ_I=id_I

    带左对偶与扭子与辫张量范畴称为带状范畴（ribbon category），它与上文中的带状代数有着密切的联系：对任意带状代数D，有限维D-模的张量范畴D-Mod_f是扭子由θ^(-1)的乘法给出的带状范畴；反之，给定有限维辫Hopf代数D，若带对偶的辫范畴D-Mod_f是带状范畴，则D是带状代数。

    这样我们再次达到了代数结构与范畴结构的统一，同时带状结构提供了充分丰富的平台，使得我们可以研究很多几何拓扑特别扭结理论中的问题（详见[5]).

 

    对于带上单位与上乘法的k-代数（A，Δ，ε），我们还有拟双代数（quasi-bialgebra）的概念，它是指配备有限维向量空间范畴Vect（k）的A-Mod范畴是（不必严格的）张量范畴，在此基础上可以得到拟Hopf代数的概念，其上依然可以引入辫结构等等，对此本文就不再充分介绍了。

    扩展阅读：

    [1]Kassel C, Ollman, Park. Quantum groups[M]. New York: Springer, 1995.（本文主要参考书，量子群理论的入门书）

    [2]Abe E. Hopf algebras[M]. Cambridge University Press, 2004. （预备知识Hopf代数的入门读物）

    [6]Majid S. A quantum groups primer[M]. Cambridge University Press, 2002. （量子群的书一般都特别厚，这却是一本难得的小册子）

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