Galois上同调是有限群上同调理论的推广，与二次型理论，中心单代数理论、代数群等数学分支都有着广泛的联系，下面我就来简单介绍一下它的基本理论及其应用概况。

 

    先从投射有限群（profinite group）讲起，它实际上就是有限群的投射极限，等价于紧完全不连通的拓扑群。对于交换投射有限群，可以通过Poincare对偶Hom（-，Q/Z)对应于挠Abel群。为什么要考虑投射有限群呢？那是因为Galois群都是投射有限群。具体来说，假若Ω/k是Galois扩张，那么其Galois群同构于Ω/k的所有有限子扩张L/k的Galois群的投射极限，这里的同构是建立在拓扑群的意义上的。

    实际上，我们已经有了抽象群的上同调，那么投射有限群与它有什么差别呢？主要就是加上了拓扑概念，对应的G-模A是要求连续，因此有时也被称为连续上同调。接下来来我们自然可以问，是否存在一个投射有限群，它的上同调与它作为抽象群的上同调是不同的？这对于有限群是成立的，这是因为有限群的拓扑是离散的；对于零阶上同调群，两者也是相同的，它们都等于群作用的不动点集。但假若我们取Z^为Z生成的投射有限群，它平凡的作用在Q上，那么对于连续上同调H^1(Z^,Q)=lim H^1(Z/n,Q)=0，但对于一般上同调H^1(Z,Q）=Hom(Z^,Q)≠0，这是因为由于Q的可除性，我们可以扩张Hom(Z,Q)的非零元。

 

    投射有限群的上同调的代数构造与抽象群的上同调完全类似，这里我就不再重复了。下面看相应的上同调序列，假若我们已经有投射有限群G-模的短正合列1→A→B→C→1，我们可以期盼这样的长正合列：

        1→H^0(G,A)→H^0(G,B)→H^0(G,C)→H^1(G,A)→H^1(G,B)→H^1(G,C)→H^2(G,A)→…

其具体结论是逐步递进的：

    1）A是B的普通子群时，序列可以连到H^1(G,B)

    2）A是B的正规子群时，序列可以连到H^1(G,C）

    3）A是B的中心子群时，序列可以连到H^2(G,A)

同时有两个连通同态也很值得注意：记上述正合列中f：A→B

，  1）δ_0：H^0(G,C)→H^1(G,A). 对任何c∈C^G，有拉回元素b∈B^G，定义δ_0（c）=[α},使得f（α_σ）=b^(-1)σ·b.

    2）δ_1：H^1(G,C)→H^2(G,A). 对任何[γ]∈H^1(G,C)，各γ_σ均有拉回元素β_σ，定义δ_1([γ])=[α},使得f（α_σ,τ）=β_σ（σ·β_τ)(β_σ,τ）^(-1).

    这样的符号看似比较杂乱，但实际上就是群元素σ作用后带来的“交换障碍”，同时一阶连续上同调H^1(G,A)还可以被解释为A上的G-挠子（torsor）或主齐性空间，即带与G-作用一致的单可迁右作用的G-集。

 

    接下来我们要介绍Galois上同调，完整的解释需要函子表示与仿射群概型的思想，这里自然是没办法详细介绍的，只能先直观的看成H^n(G_(K)，F（K）），有时也简记为H^n(K/k,F)，这里G_(K)就是K在基域k上的Galois群；F是k上的代数范畴到群范畴上的函子，它常常是以仿射群概型的形式出现，其作用自然给定为：σ·x=F(σ)(x)，最后把这个整体解释为关于投射有限群的上同调。特别的，我们更关注K=k_s(基域k的可分闭包，此时的上同调就直接记为H^n(k,F)。

    下面看几个最常见的情形：

    1）H^q(K/k,G_a)=0,若q≥1.

    2）H^1(K/k,G_m)=0，这是Hilbert 90的推论，对任何可分k-代数A，H^1(K,GL_1(A))=1

    3）H^1(k,μ_n）=k*/k*^n，这可以由正合列1→μ_n(k_s)→k_s×→k_s×→1的上同调与2）导出。

    4）H^2(k,G_m)=Br(k)，这可以由正合列1→L*→GL_n（L)→PGL_n(L)→1的δ_1给出，详见参考书[2].

    5) H^2(k,μ_n)=Br_n(k)，这可以由正合列1→μ_n(k_s)→k_s×→k_s×→1的上同调与4）导出。

 

    H^1常常与代数分类相关，详细的说明需要用到Galois下降理论，这里只从容易记忆代数版开始介绍。对域扩张K/k与Galois扩张Ω/K，对任何k-代数A，H^1(Ω/K,Aut_alg(A)(Ω))与Ω上同构于A的K-代数同构类一一对应。它的具体实例是：

    1）中心单代数：CSA_n = H^1(-,PGL_n)

    2）二次型： Quad_n = H^1(-,O(q))

    3) 平展代数：Et_n = H^1(-,S_n)

    4) Galois代数：G-Gal = H^1(-, G)，其中G是有限抽象群。

    

    这样的Galois上同调有一些比较重要的应用，我们先来看二次型理论。对此可以归结为对任何二次型q，有正合列：

            1→μ_2(k_s)→Pin(q)(k_s)→O(q)(k_s)→1

其中α_k_s:Pin(q)(k_s)→O(q)(k_s)是正交代数群的旋量范数，那么它的低阶连通映射分别为：δ_0=SN为旋量范数，δ_1(q')=w_2(q)+w_2(q')+det(q)∪det(q'), 其中w_2(q)为就是数论中的Hasse不变量。

    特别，对于最简单的二次型q=m×<1>，有简单的表达式：δ_1(q)=w_2(q). 这里Hasse不变量w_2(q)的价值可以由下面的命题体现：Q上的两个二次型同构 iff 它们有共同的维数、行列式、符号差与Hasse不变量。

 

    同时，Galois在中心单代数中也起到了重要的作用。对于有限n次Galois扩张L/k，有正和列为：

            1→L*→GL_n（L)→PGL_n(L)→1

可以设法把它转化为：

             1→L*→GL_1(A)(L)→PGL_1(A)(L)→1

有Hilbert 90定理，有单射δ_1：H^1(K,PGL_n(L))→H^2(K,L*)，它实际上就是一个同构，并且可以把PGL_n与L*分布“下降”为PGL_n与G_m. 这样左边的H^1(K,PGL_n)决定了中心单代数的同构类，右边H^2(K,G_m)=Br(K)是中心单k-代数的Brauer类，便得到了两者之间的一一对应A→[A]. 

    特别，H^2(k,μ_2)=Br_2(k)，它可以被解释为四元数代数(a,b)的Brauer类到 (a)∪(b)上的一一对应。

   

    除了二次型与中心单代数理论之外，Galois上同调在Galois嵌入理论与带对合的代数理论中也有重要应用，同时还能够给出域扩张的Noether问题与代数群有理性问题的否定实例，其理论本身也可以发展到更一般的上同调不变量与函子的本性维数等更加深入的部分，可以说是相当丰富的了。 

 

    最后，介绍几本关于Galois上同调理论的几本参考书:

    [1] Serre J P. Galois cohomology[M]. Springer Verlag, 2002. （数学名著，侧重于基本的理论与事实）

    [2] Berhuy G. An introduction to Galois cohomology and its applications[M]. Cambridge University Press, 2010. （本文主要参考书，在理论与应用之间平衡得很好）

    [3] Gille P, Szamuely T. Central simple algebras and Galois cohomology[M]. Cambridge University Press, 2006. （后续读物，包含了K-群等更加深入的内容） 

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    有限群还有一类完全的上同调，请看博文：有限群的Tate上同调