最近学了一点辛几何，给大家谈几点初级想法，主要是侧重于辛流形的基本概念，解释一下什么是“Hamilton G-空间（M，ω，Φ）”，后者似乎是辛几何中经常出现的对象。

    现代几何学的基本舞台是流形，但在研究一般流形时都默认读者已经了解线性空间，而这里辛流形用到的线行空间是带有辛结构的，这一点一般读者未必都熟悉，因此一般辛几何的入门书籍大都从辛线性空间开始介绍。所谓的辛线性空间，就是一般线性空间V上加一个辛结构ω，它被定义为V上的一个非退化反对称双线性形式，对此，可以类比所谓线性空间的正交结构，这里的辛结构则是把正交结构中的对称换成了反对称，类似的我们也可以定义辛向量空间下正交补的概念，只不过此时可能出现子空间W≤W⊥的情况，这样的子空间被称为迷向的（isotropic）；假若W=W⊥，则子空间W称为Lagrange的。

    辛向量空间（V，ω）上结构可以由辛基完全决定，所谓的辛基是指一组向量{e_1,…,e_d,f_1,…,f_d}，它满足条件ω（e_i, f_j)=δ_ij，ω（e_i, e_j）=ω（f_i, f_j）=0. 任何辛向量空间内都有这样的辛基，因此总是偶数维的，同时任何2d维辛向量空间都同构与d个R^2上辛向量空间的直和。在此辛基下，V的Lagrange子空间均占据着一半的辛基，不妨就设为e_1,…,e_d，要是再添上另外的f_i项，那就只能称为是迷向子空间了。

    把正交结构推广到一般流形上就得到一个黎曼结构，而把辛结构推广到流形上马马虎虎的还是叫辛结构。具体来说，假若流形M上带一个反对称的非退化闭二形式ω，那么（M，ω）就称为一个辛流形。对于辛流形我们有如下的典型性质：

    1.偶数维：这是因为流形的维数就是切空间的维数，而切空间就是上面提到辛向量空间，因此一定是偶数维的。

    2.可定向：这个是因为我们可以对ω做外积，得到它的体积形式ω^d，这里d=dim M/2.

    3.若M是紧流形，偶数阶de Rham上同调群H^2i(M，R）（1≤i≤d）非平凡：ω^i就是H^2i(M，R）的非零元素。

    4.切丛TM标准同构与余切丛T*M：具体来说，对任何x∈M，可由内积v→i（v）ω_x，v∈T_x(M)给出这里的对应关系，

    5.辛结构ω在局部坐标可取为与C^d相同的标准形式ω=dx_1∧dy_1+…+dx_n∧dy_d，这个结论被称为Darboux定理。它说明同维数辛流形在局部上都是辛同胚的。由此可见，辛流形与Riemann流形的状况是完全不同的，在Riemann几何位于中心地位曲率概念在辛几何中是平凡的。

    有人对此可能会有疑问，辛流形与Riemann流形的主要差别就是2-形式的对称与反对称，出现迷向的情况还是可以理解的，但似乎不至于一下子让曲率消失掉。通过与国外学者交流，我明白了其中的奥妙，主要就是辛流形的概念中的微分形式ω是闭的，也就是说还附加一个微分方程dω=0，而在Riemann几何中这个微分方程就对应于曲率为零的条件，辛几何其实只是对应于Riemann几何中的一个特例而已。

    由此可见，辛流形的条件还是相当苛刻的，即便是最常见的球面，一般还无法构成辛流形（n>2维球面的二阶上同调群平凡！）。然而，我们却又一大类特殊的辛流形，这就是一般光滑流形Q的余切丛T*Q，后者自然带有一个辛流形的结构。

    假若π：T*Q→Q是一个自然投影，我们可以定义T*Q上的典型一形式α如下：对任何p∈Q

        <α_p,v>=<p，dπ_p(v)>, v∈T_p(T*Q)

进而得到T*Q上的典型二形式：

        ω=-dα

    这样得到ω不仅是闭的，而且还是恰当的。假若一个辛流形上的辛形式ω都有这样的恰当形式，那么它就称为恰当辛流形。光滑流形的余切丛都可以被构造成恰当辛流形。

    在余切丛T*Q内，Q的截面像构成T*Q的一个Lagrange辛子流形，即其切空间是T*Q的切空间的Lagrange子空间且继承了T*Q的辛结构的子流形。 

    下面来谈谈辛流形（M，ω）上的一些几何构造。先看所谓的辛向量场，它可以由D_X(ω)=0定义，此外还有对应于M上某个函数H的Hamilton向量场，它由i（X_H)ω=dH定义。通过Weil公式，D_X=di(X)+i(X)d可以证明Hamilton向量场都是辛向量场。

    记（M，ω）上所有辛向量场的空间为S（M，ω），所有Hamilton向量场的空间为H（M，ω），我们有基本的正合列：

        0→H^0（M；R）→C^∞（M）→S（M，ω）→H^1（M；R）→0

其中C^∞（M）→S（M，ω）是由函数f映射到它决定的Hamilton向量场H_f上的映射，当上同调群H^1（M；R）=0时，M上所有的辛向量场都是Hamilton向量场。

    给定C^∞（M）内的两个函数f与g，我们还可以定义Poisson括号如下：

        {f，g}=-ω（X_F，X_G)=i(X_F)dG=X_FG

由此给出C^∞（M）上的李代数结构，更准确的说法应该是Poisson代数。光滑函数空间具有Poisson代数的流形称为Poisson流形，它是比辛流形更加广泛的一类流形。

    接下来看辛流形（M，ω）上的群作用，假设G是一个李群，M上的G-作用称为辛的，若它保持辛结构ω；G-作用称为Hamilton的，若它对应的向量场ξ是Hamilton的，同时它与G-作用还是可交换的，类似可定义G的李代数g在（M，ω）上的作用。这里的Hamilton作用可以具体表示为对任何ξ∈g，存在一个光滑函数Φ（ξ），使得ξ_M=X_(Φ（ξ）),即i（ξ_M）ω=dΦ（ξ）,这里的ξ_M是ξ在流形M上由exp(-tξ)生成的向量场。

    上面的映射ξ→Φ（ξ）可视为M到g*的映射，称为Hamilton作用G的力矩映射（moment map）.在Hamilton作用下，力矩映射Φ：M→g*可以被确定到仅差一个常数。下面看力矩映射的两个特例：对于辛结构ω=-dα的恰当辛流形而言，其力矩映射Φ：M→g*可以直接定义为为<Φ，ξ>=<α，ξ_M>. 而对辛向量空间（V，ω）对李群G的辛表示而言，若任何ξ∈g在v∈V上有作用ξv，那么<Φ（v），w>=ω（w，ξv）/2，w∈V所给出的Φ：V=T_vV→ g*就是力矩映射。

    这样我们终于可以解释什么是Hamilton G-空间（M，ω，Φ）了，就是指带力矩映射为Φ的Hamilton G-作用的辛流形（M，ω）. 任意给定m∈M，可以证明力矩映射的核ker（dΦ）是所谓赋值映射的正交补，即由{ξ_M（m）；ξ∈g}的组成的空间的补集，这里我们借助于ω的非退化性将TM与T*M等同。当G的作用可迁时，力矩映射的像就是g*上G的余伴随作用的一个单轨道，即Φ（M）=O，O=GΦ（m），m∈M. 进一步我们还有所谓的Kostant-Souriau定理，它是说任何余伴随轨道都有唯一不变辛形式使得单射O→g*是力矩映射，特别当G-作用可迁时，Φ覆盖整个轨道O，M上的辛形式可以由力矩映射从余伴随轨道O上拉回，因此是被力矩映射唯一决定的，这也就是力矩映射Φ在辛几何能与辛流形（M，ω）相提并论的原因了。

    最后，简单提一下G=T时的一个结论，它被称为是环面作用的凸性定理：设（M，ω，Φ）是紧连通的Hamilton T-空间，T是有效作用在M上的环面，则力矩映射的像Φ（M）是维数等于dim(T）的多面体。在其证明中要用到了Morse理论的推广形式，主要是就由力矩映射诱导出来的函数的Morse-Bott函数，对此我就不再详细介绍了。

    本文的主要参考书是Shlomo Sternberg的《辛几何讲义》，那本书后面还有Hamilton配边、线性化定理等内容，但却没有涉及到上同调，后者可以在Koszul的《辛几何引论》中得到补充。