最近我学了一点Morse theory，感觉这是微分拓扑中是一个非常别致的分支，与代数拓扑、代数几何、微分几何等都有密切的联系，这里的联系主要表现为可以为那些数学分支提供强大的理论工具。

    我们先从Morse function开始介绍，设M是n维光滑流形，M上所谓的Morse function就是指临界点均为非退化的光滑函数。所谓临界点，就一阶导数为零的点，其几何意义就是有极值；而非退化的要求则是说它的Hessian非退化，这里的Hessian就是二阶混合偏导数构成的对称矩阵，可见Morse function主要是就是二阶非退化时对极值问题的精细研究。

    这里函数的Hessian同时可以对应一个二次型。这个二次型的负指标就定义为Morse function的指标。指标为0时Morse function取极小值，指标为n时取大值，对于O＜k＜n的整数k，可以通过相应的鞍点构造指标为k的Morse函数。通过二次型的变换，我们可以得到临界点附近的标准坐标系，使得Morse function f在指标为k的点p处可局部表示为f（p）-x_1^2-…-x_k^2+x_(k+1)^2+…+x_n^2，这就是所谓的Morse lemma.

    接下来就光滑流形上Morse function的存在性问题，实际上Morse不仅存在，而且还是充分多的。为此我们可以把光滑流形M嵌入欧式空间E内，可以说明对几乎所有的v∈E*，几乎所有p∈E，与几乎所有E的对称自同态A，可构造M上三类Morse function h_v、r_p、q_A：M→R如下：

            h_v（x）=v（x）；r_p（x）=(1/2)|x-p|^2；q_A(x)=(1/2)(Ax,x)

利用微分拓扑横截定理可以证明，Morse function在M上的光滑函数中是开稠的。

    对Morse function，我们有如下常见的加强形式：

    1）exhaustive Morse function，它要求对任何c∈R，子水平集Mc={f≤c}都是紧致的。显然，紧流形上Morse function都属于此类，上述例子中的r_p与q_A也都是exhaustive Morse function.

    2）resonant Morse function，它要求对任何临界值p≠q，f（p）≠f（q）.假若一个Morse function不是resonant的，我们可以做一个小扰动，让它变成resonant的，因此总有resonant Morse function的序列逼近一般的Morse function.

    Morse function的指标有一个重要功能就是可以用来刻画光滑流形的拓扑结构，这一结论是以下列引理作为奠基的：假若n维光滑流形M上的Morse function f在[a,b]上没有临界点，那么Ma与Mb是微分同胚，自然包含Ma→Mb是同伦等价，这里的收缩关系是由f=常数的正交轨线给出的。然后考虑有临界点的情形：假若Morse function有Morse index为λ的孤立临界点p，f（p）=c，则对充分小的ε>0, Mc+ε微分同胚于Mc-ε贴上一个n维的λ维胞腔.

    这样一来，当我们让c从-∞逐渐增加到+∞时，实际上就相当于用一个个的胞腔去构筑M，最后得到M对应的CW-complex，它对每个Morse index λ恰有一个对应的λ维胞腔，这样我们就得到了由resonant Morse function的指标决定光滑流形CW-complex的结构定理。它的一个简单推论就是Reeb Theorem：假若紧流形上存在一个Morse function恰有两个临界点，那么M一定同胚于球面。

    下面介绍这个CW-结构的一个应用，对于复m维Stein manifold M，它可以嵌入到某N维复空间C^N内，考虑f：C^N→R由模平方给定，可以证明这个f在M上的限制的Morse indices均不大于m，结果复m维Stein manifold M就有m维CW-complex的同伦型，因此它的任何大于m维的同调群平凡。由此结论，还可以进一步得到所谓的Lefschetz hyperplane theorem，大意就是说超平面的截面不影响低阶的上同调群，这里的低阶以截面实维数的一半为界，小于它时上同调群不变，等于它时则出现一个包含关系。

    对于胞腔的贴附结构，我们可以使用Mayer-Vietoris sequence计算它的同调群，把它的Morse index与Betti number做比较，可以得到所谓的Morse inequalities. 简单来说就是流形M上Morse function各阶Morse index的交错和不小于同阶Betti number的交错和，特别当阶等于流形维数n时，这两个交错和相同，都等于流形的Euler number χ（M）.

    对此我们还可以进行豪华版的概括，为此先解释一下两个概念：对于指标为λ的临界点，我们给定一个单项式t^λ，把一个Morse function f所有如此给定的单项式加起来，我们就得到了所谓的Morse polynomial P_f（t）；假若对任何光滑流形M的k阶Betti number bk，即其k维同调群的维数。都配上一个单项式t^k，把所有这样的单项式相加，就得到了所谓的Poincare Polynomial.这里t=±1是值得注意的，P_f（1）就是f的临界点的个数，而P_M（1）则是M的总同调群的维数；而P_f（-1）是f的各阶Morse index的交错和，P_M（-1）恰为流形M的Euler number. 豪华版的Morse inequalities就是说P_f（t）≥P_M(t），同时P_f（-1）=P_M(-1）=χ（M）， 这里的多项式P≥Q iff P（t）=Q（t）+（1+t）R（t），其中R∈Z[[t,1/t]]且各项系数非负。实际上，只要两边除以（1+t），然后展成形式级数的形式，利用R（t）系数的非负性即可把豪华版的Morse inequalities还原。

    豪华版的Morse inequalities启发我们进一步追问：何时Morse polynomial=Poincare Polynomial？假若此条件成立，我们定义其为prefect Morse function.对此我们有如下的包含关系：even Morse function→gap condition→completable Morse function→prefect Morse function. 下面逐一进行解释，even Morse function就是说它的Morse index只有偶数项非零，gap condition就是说不同临界点的Morse index之差不为1，而completable Morse function则指对应指标为λ的胞腔在子水平集{f≤c-ε]（c=f（p）是临界值，ε>0充分小）的λ-1维同调群内定义了平凡的同调类。显然，even Morse function是最简单最容易判别的，对于多数应用而言，它就已经是足够的了。

    接下来我们进入Morse-Smale的动力学领域，首先要介绍一下梯度类向量场的概念。所谓光滑流形M上Morse function f的梯度类向量场X，是指在临界点附近由Morse lemma给出的标准坐标系求导得到，而在非临界点处满足Xf＞0.记Φ_t为M上由梯度类向量场生成的流，有对任何p∈M，当t→±∞时，Φ_t（p）的极限点都存在而且是f的临界点。反之，若给定Morse function f的临界点p，把M上所有沿Φ_t当t→±∞时收敛到p的点集记作W±（p），则W-（p）≈R^λ，W+（p）≈R^(n-λ)，其中λ是f在临界点p的Morse undex.

    假若我们给定了紧光滑流形M上的Morse function f，则一定能够找到它的梯度类向量场X，使得对f的任何两个临界点p与q，W-（p）横截于W+(q），这样的二元组（f，X）称为M上一个Morse-Smail pair. 假若我们只有一个紧光滑流形，而没有事先给定f，那么可以找到一个self-indexing function与其梯度类向量场组成的Morse-Smale pair. 所谓self-indexing Morse function，是指这样的Morse function f，对任何指标为λ的点p，f（p）=λ. 遗憾的是，我没能找到合适的例子来详细说明这些结论，但这也反映Morse theory的强大之处。

    设（f，X）是紧光滑流形M上的self-indexing Morse-Smale pair，p是指标为k的临界点，令M_k={f≤k+1/2},C_k(f)=H_k(M_k,M_(k-1))，定义相应链映射为复合d：C_k=H_k（M_k，M_(k-1)）→H（M_(k-1)）→H_(k-1)（M_(k-1)，M_(k-2)）=C_(k-1)，由此得到所谓的Thom-Smale complex，其同调就是Morse-Floer Homology，它同构于M的奇异同调群。

    最后，我们简单谈谈Morse theory的推广，主要有两种方式：一是把临界点换成紧连通且切空间非退化的临界子流形，得到所谓的Morse-Bott function.对应Morse-Bott theory的基本结论大致都对经典Morse theory相平行，并且后者更能够应用于代数几何、辛几何等数学分支。二是考虑关于复流形的Morse theory，可以得到所谓的Picard-Lefschetz theory，由于其正则值的连通性遭到破坏，它与经典Morse theory大相径庭，而是更接近于复几何的领域了。