奇异积分算子是调和分析中比较难学的一部分内容，主要就是缺乏具体实例支持，即便是最简单的球对称情形，其计算也是异常麻烦的，更不用说其他一般情况了。这里我准备从最简单的一维Hilbert transform开始，看看从中能够挖掘出多少关于奇异积分算子的信息。

    Hilbert transform可以定义为主值积分H（f）=p.v.1/π∫f(y)/(x-y)dy，其初等性质可以通过Fourier transform来研究。事实上，我们有H（f)^(ξ)=(-isgnξ)f^(ξ)，由此可得H是L^2(R)上的等距同构,同时H^2=-I.由此我们可以把Hilbert transform推广到高维类比，得到Riesz transform的概念。事实上，我们有Rj(f)^(ξ)=(-iξj/|ξ|)f^(ξ),并且ΣRj=-I.

    它与经典分析的联系就在于可以作为f∈L^p(R)的conjugate Possion integral Q的极限，利用Fourier transform可以得到Qy*f=Py*Hf a.e.成立。对此我们可以构造极大函数H^(ε)(f)进行刻画，有f∈L^p时，H^(ε)(f)-Qε(f)→0在L^p与a.e的意义上均成立。事实上，类似的极大函数法在调和分析中是非常普遍的，其Lp收敛依据的是Lebesgue dominated convergence theorem，而a.e.收敛则是依据Lebesgue differentiation theorem.

    Hilbert transform满足良好的几何变换性质，它与平移、正展缩都是交换的，而与反射是反交换的。有趣的是，在L^2（R）的有界算子若满足这三个条件，那么至少在相差一个常数的意义上它必然就是 Hilbert transform.保持前两种变换，把反射换成旋转条件ρTjρ^(-1)=ΣρjkTk，我们就能得到此结论的高维类比。事实上，对于高维的情形，我们经常通过旋转转化为一维问题来处理，这一点我们马上就要在下面的算子型估计中看到。

    即使是最简单的Hilbert transform，能算出明确结果的似乎就有区间的特征函数，但我们依然能够从这样的结果中提取一下信息。我们有H(χ[a,b])(x)=1/πlog|x-a|/|x-b|，由此很容易看出它不是（1,1）型，也不是（∞，∞）型的，并且很可能就是弱（1,1）型的。事实上，正如Hardy-Littlewood maximal function一样，Hilbert transform是弱（1,1）型与（p，p）型的（1<p<∞)。

    先来看（p，p）（1<p<∞)型的证明，对Hilbert transform而言有一个比较巧妙的方法，先利用共轭关系建立等式H(f)^2=f^2+2H(fH(f))，然后对p=2^k的情况归纳证明，再通过插值定理填补其中空隙，并且利用对偶条件处理1<p<2的情况。借助于Hardy-Littlewood maximal function，我们还能进一步得到极大函数H^(ε)(f)也是（p，p）（1<p<∞)型的。更进一步，我们可以证明高维的奇核奇异积分算子同样是（p，p）（1<p<∞)型的，证明思路就是通过变换、极化取平均等手段转化为方向Hilbert maximal function（相当于一维情况）处理，它是一个特例就是Riesz transform（p，p）（1<p<∞)型。

    对于弱（1,1）型的估计，则相对要困难一下，为此我们需要一个专门的工具：Calderon-Zygmund decomposition，主要是就把函数拆解成good与bad两个部分：f=g+b，对good部分可以直接估计，而对bad部分有规范化的空间族{Qj}进行约束。利用C-R分解的通常模式是|Tf>α|≤|Tg>α/2|+|∪Qj|+|{Tb>α/2}\∪Qj|，前两项都可以直接处理，而第三项的处理则是富有技术性的。

    考虑奇异积分算子Tf=f*K，在Hilbert变换下K=1/πx，而一般则要求K满足Hormander condition：∫（| x|≥|2y|）|K(x-y)-K(x)|dx≤A,y≠0,其中常数A与y无关。这个条件是相对比较弱但却非常管用的，比它稍微强一点的条件是|▽K(x)|≤A|x|^(-n-1),x≠0，因此Hormander condition就相当于一定的弱可微性。仔细思考可以发现，积分内函数相当于y|▽K(x)|，|x|≥|2y|表达了x远离被微分的y,而Hormander condition恰好处在一个临界状态，假若我们先估计再积分，那么结果就会发散，必须要先积分再能够做出这样的估计。

    做完这样的准备工作，我们可以用C-R分解证明当K满足Hormander condition时，假若对某个r（1<r<∞)，积分算子Tf=f*K是（r，r）型的，则必是弱（1,1）型的（同时也是（p，p）（1<p<∞)型的）。这里最容易满足的情况就是r=2，利用乘子关系，只要K的Fourier transform一致有界就行了，这样的结论还可以直接推广到向量值函数的情形。

    实际上，更加精细的分析还可以得到更强的结论，但其中的不等式估计也变得比较麻烦。对于欧式空间内的调和分析，不等式似乎起着承上启下的作用，下面是空间与函数的分解关系，上面则是抽象的定理结论。这对研究PDE应该是很有帮助的，但我对不等式之类的东东不是太喜欢细抠，因此也就浅尝则止了，也许以后会转向群上的抽象调和分析吧。