最近研究了Banach space中的凸性与光滑性理论，一不留神就认识了好几十个空间，本想把它们都排列出来，可不幸发现这件事已经有人干过了（参阅俞鑫泰的《Banach空间几何理论》），因此还是提一些简明的线索，分析一下其中的思想精神。

    先来看一下最常见的几类空间的蕴涵关系，它们由Hilbert space（H）出发可以分成两条半路，一条通往圆凸空间（又称为严格凸空间），另一条通往光滑空间，而其中的半条路则是我们最熟悉的自反空间。下图中前缀U表示uniform，L表示local，w表示weak，F表示Frechet，G表示Gateaux.

    这些空间的基本性质可小结如下：

  
    在这些性质中，序列刻画是最可用的工具，可以推导出空间的其他性质与相互间的蕴涵关系。同时，几何直观能够使得理解更加深刻，而最能够“看见”的图形则是在二维欧式空间（平面）上，因此对平面的再赋范就成了构造反例的常用技术。

    光滑性与凸性主要在单位球面上定义，最基本的例子就是lp。先从l2开始，在平面上它的单位球面是单位圆，当p增大时逐渐外凸，直到p=∞时变成正方形。这是即出现平直线由出现角（支撑超平面不唯一），因此l∞既不是圆凸的，也不是光滑的。同样，当p变小时，单位球面逐渐内凸，直到p=1时变成一个斜放的正方形，因此l1也不是圆凸与光滑的。利用一点不等式技术可以证明，lp（1<p<∞)时是(UR)与(US)的。

       下面考虑相应的反例，这里我只提及其中最简单的一类情形，它基于与Minkowski泛函有关的命题：平面上有非空内点的均衡闭凸子集均可作为某与欧式拓扑相配的范数的单位球。这样，只要考虑一个光滑的有凹陷的图形，就可以得到光滑但非圆凸的空间，同时考虑边界均为圆弧却有尖点的凸图形，就可以得到圆凸但非光滑的空间，因此我们就得到了圆凸性与光滑性是互不蕴含的例子。

       注意到圆凸的唯一性与光滑空间的序列刻画具有对偶关系，我们可以建立它们之间的联系，仔细分析后发现，X圆凸→X*光滑，但反过来需要的空间就得大一点，只有当X为自反时才能成立。为此有数学家借助X**中的元素确定X*中的唯一性，定义了X*为Q(X)-光滑（Q：X→X**为典型嵌入）的概念，显然X*为Q(X)-光滑→X*光滑，同时X圆凸←→X*为Q(X)-光滑。类似可定义X*为Q（X）圆凸，有X光滑←→X*为Q(X)-圆凸→X*圆凸。幸运的是，一致凸空间与一致光滑空间具有良好的对偶关系，并不需要额外的自反条件。