最近学了一点Banach space中的基（Schauder basis），发现这里面还真是别有洞天，可惜现在的泛函分析书大都不介绍这个内容。下面我就来小结一下这里的故事，相信有水平的人自然能够品味其中的趣味。

    先来看为什么要在Banach中定义基，实际上它背景是Banach space中的级数收敛，这至少要求有一个拓扑结构来刻画极限。此外，我们一般不希望由于有洞而使得收敛落空，完备性也是经常假设的条件。事实上，我们的确可以在完备的拓扑向量空间内定义基，比如lp（0<p<1)中的标准向量基，但在Banach space中由于范数的存在，使得其中的基具有更加强大的价值。我们可以先定义一个基范数，然后利用恒同映射的范数比较定理（这是开映射定理的标准推论）估计出投影算子的上确界，这就是所谓的基常数，由此可以方便的估计投影算子之间的关系。

    讨论一下C[0,1]中的基是非常有意思的，它揭示了抽象基理论与经典分析之间的联系。多少有点让人意外的是，尽管多项式函数系{1，t，t^2，t^3，……}是线性无关的，但它并不是C[0,1]中的基，因为若是给定一个并非n阶可导的连续函数，其Taylor series就不收敛于其自身。同样结论对三角函数系{1，e^it，e^(2it)，e^（3it)……}也成立，存在Fourier级数并不收敛于自身的连续函数是Fourier analysis中的标准定理。可有趣的是，C[0,1]中的确存在基，其构造稍微有点复杂，被称为classical Schauder basis。更加有趣的是，它竟然还有由多项式或者三角函数构成的基，利用Weierstrass approximation Theorem，我们可以用它们来逼近classical Schauder basis，然后用基的Stability Theorem说明它也是Schauder basis.

    下面我小结一下各种常见的基与常见空间之间的匹配关系，其中c0、lp（1≤p＜∞）(l∞不可分，因此不存在基）、James space J(一个非常有趣的空间，非自反但等距同构于其二次对偶空间）都是标准单位基，C[0,1]中的是classical Schauder basis，Lp[0,1]（1≤p＜∞）中的是Haar basis.

    （若是发现下表有误，请及时联系我更正）   

    最后，对此表简单做几个注记：

    1.基常数为1的基称为单调基，在处理对偶的情况时，它可以使得某些同构升级为等距同构。单调基可以通过相邻项的不等式来刻画，若不等式总是严格成立，那么就称为严格单调基，它似乎取决于相应范数的严格性。

    2.无条件基的背景是Banach空间中级数的无条件收敛，在数域上无条件收敛于绝对收敛是一致的，但只要在可分Hilbert space上就容易发现它们的差别。无条件基提供了更好的对称性，可以仿照基定义无条件基范数与无条件集常数，其不等式刻画中可以把从1开始的（有限）级数和换成任意的（有限和）。对称基在无条件基的基础上还要求基等价，其理论将是更为深入的。

    3.收缩基与有界完备基有一定的对偶关系，其中c0与l1的特征刻画是本质的。事实上，我们有这样的命题：

    1）X中的基{xn}是收缩的←→{xn*}是X*中的有界完备基→l1不嵌入X；

    2）X中的基{xn}是有界完备的←→{xn*}是X*中的收缩基本列（不一定是基！）→c0不嵌入X。

    假若{xn}还是无条件基，那么最后的蕴含关系反向也成立。

    C[0,1]具有可分空间的万有嵌入性质，因此它既没有收缩基，也没有有界完备基。若某个空间同时有这两种基，那么我们有如下结论：

    3）X中存在基既是收缩的又是有界完备的←→X是自反空间。

    看完了泛函分析，再看一下高级的实分析哈，请看博文：谈谈调和分析中的极大函数