简单的Hom函子计算是同调代数的一项基本功，下面的运算表应该是同学们熟练掌握的：  

    下面我们要算一下Hom(Q,Q/Z)，看上去似乎不比上面的表格复杂多少，但是却得用一种另类的办法来计算。这个例子我是在Hilton&Stammbach的A Course in Homological Algebra的习题中找到的，基本思想就是比较基数，暴力破解。

    第一步是先证明Hom(Q,Q/Z)是Q上的向量空间，这可以通过如下推理得到：Hom(Q,Q/Z)是Q-向量空间←→Hom(Q,Q/Z)作为Z-模是无挠且可除的←→Hom(Q,Q/Z)上的算子f→rf，r≠0是单射且满射，后者是非常容易直接验证的。

    然后开始比较基数，注意到Q的Z-基是可数无限的，每个Z-基的像对应一个挠系数ki≥2，因此Card（Hom(Q,Q/Z)）≥Πki≥2^χ0，但作为集合映射只能Card（Hom(Q,Q/Z)）≤2^χ0.因此，Card（Hom(Q,Q/Z)）=2^χ0=Card(R)，而向量空间的结构由基数决定，故Hom(Q,Q/Z)=R.

    最后稍微做一点讨论：

    1）由此结论不难算出Ext(Q,Z)=R，可见就算是如此简单Ext函子，也是很不容易处理的。

    2）注意Q/Z=⊕Z/p^∞,它可以作为Hom(M,⊕Ni)≠⊕Hom(M,Ni)的反例，但实际上Hom(M,lim←Ni)=lim←Hom(M,Ni)是成立的。

    其实，我对这样的暴力破解法是不甚满意的，它不但缺少美学上优雅，而且没有能够给出具体的同构。可反过来想，R作Q-向量空间本身就比较古怪，它的基可以视为传说中的不可测集，这样做似乎也是无可奈何。当然，如果你知道什么巧妙的算法，一定要记得告诉我哈！