我们通常会有这样一种看法，一种理论之所以高级，就在于它能够蕴含一些低级的理论，也就是说，低级理论所能达到的地方，高级理论也一样能够达到，而且往往还要更多一些。但绝大多数情况都没有这样理想，这样的蕴含往往不是完全的，更加准确的称呼应该是局部的专题化。

    让我们以平面几何为例子来说明一下这个问题，很多高级的几何脱胎于平面几何，但正如人们一般不会注意在人类进化时灭绝了多少种猿猴一样，很少有人会注意在平面几何发展的同时，我们到底丢失了一些什么东西。单从字面上看，平面几何似乎应该被立体几何所包含，因为前者只是后者在一个平面上的特殊情况。然而仔细一看，却可以发现立体几何所推广的内容只是平面几何的一部分，平面几何的基础内容（比如三角形全等与相似）在立体几何中并没有明显的对应，或许我们也可以把它们依葫芦画瓢的推广出来，但这样做似乎比较麻烦，而且缺乏朴素的直观（看三棱锥的全等与相似！），所以价值并不是太大。其实，立体几何所推广的只是简单的线面关系和几何体计算，前者在于建立一个空间的直观框架，后者更多是出于实际生产的需要，但这些都只是平面几何中最浅层的部分。可见，立体几何只是平面几何的局部推广而已，它们的关系并不是完全包含的。

    解析几何的情形也是类似，其中引入了新的元素——坐标，也给平面几何奠定更严格的数量基础，但其主要研究内容还是由坐标确定的，也就是说它自己带来了自己的问题，并未对早先的平面几何有太多的帮助。尽管理论上说，用平面几何可以证明的定理都能用解析法证明，可实际上即使再加上平面三角与向量等高级工具，操作起来（特别是遇到角度有关的问题）也还是非常麻烦的，稍微复杂一点的问题还是只能用平面几何定理来推论。从这个意义上说，坐标的引入反倒是缩小了平面几何研究的深入程度，只是因为方便了曲线的表达，特别是得到了二次曲线的丰富成果，所以才有其存在的价值，但更高级的代数曲线似乎就仅满足于判断一些点的重数与分支的维数。在这一点上，微分几何要更加典型一些，它完全排斥任何非光滑的情形，却又在看似平凡的光滑流形中挖掘出很多新的问题。这里的理论逻辑与其说是肉眼下包含，倒不如说是显微镜下的聚焦。

    由此可见，不论是单纯的研究领域的扩张还是新工具的引入，都没有能够完全代替原先的平面几何，平面几何是核心内容（基于三角形全等与相似的相关推论），直到现在还具有独立的意义。从这个角度上说，平面几何与其他高级的几何作为既成事实而言，就只存在着研究领域的不同，而这些领域的高低起伏便自然标识出了一条几何学的可能轨迹。

    注：本文的思想是在读费耶阿本德的《反对方法》时产生的，当时他给出的例子是牛顿力学与亚里士多德的力学，但我觉得几何学的例子要更典型更具说服力。