请注意，我们不能笼统的说（0，1）是开集，正如距离与背景空间相关一样，由距离衍生的概念开集也一样与背景空间相关。比如（0，1）就不是R×R的开集，因为在一维空间的它没有能力包含任何的二维开球。同样的道理，包含在R^m（m<n）空间的集合不可能是R^n中的开集，包含在有限维空间的集合不可能是无限维空间中的开集。
开集G在X中的补集称为X中的闭集，比如[0，1]就是R中的闭集（因为（-∞，0）∪（1，∞）是R中的开集）。但我们不能由某个集合是闭集就推出它一定不是开集，比如X就在X中就既是开集又是闭集，而非平凡的例子则会导出所谓连通性的概念，这里就不能多谈了，只举一个例子：取X=（-∞，0）∪（1，∞），则（-∞，0）在X中就既是开集也是闭集，（1，∞）也是一样。
下面我们来证明一个平凡的命题，思路可以通过与上面说明开区间（0，1）是R的开集类比得到。
分析：设B=B（x,δ）是以x为中心的开球，对任意y∈B（x,δ），根据开集的定义要取适当的r>0，使得B（y,r）包含在B中。这里的r应该怎样选取呢？在一维的情形中，它取的是与边界点的距离，但那里只有两个边界点，因此取最小值就可以了。但在R×R中这样的点就有无限个，这里甚至根本不知道边界点有多少，好在我们有处理距离的三角不等式。
证明：设B=B（x,δ）是以x为中心的开球，对任意y∈B（x,δ）固定，任取z∈S（x,δ），有d（x,z）=δ，故由三角不等式
d(y,z)≥d(x,z)-d(x,y)=δ-d(x,y)
（与z无关）
取r=[δ-d(x,y)]/2即可。
事实上，对任意点t∈B（y,r），都有
d(x,t)≤d(x,y)+d(y,t)≤d(x,y)+r
=d(x,y)+[δ-d(x,y)]/2=[δ+d(x,y)]/2<δ
这就证明了t∈B（x,δ），从而B包含B（y,r）。■
感到困难的读者不妨自己画张图来帮助理解这个证明。
我们已经证明了度量空间中的开球是开集，由此可以构造出更多的开集，比如可以讨论以下它们在集运算（补、交、并）下的结果是否为开集。
显然，开集的补集未必是开集，但是否一定不是开集呢？当然不是这样，比如度量空间X中的X与其补集￠都是开集。事实上，这个问题我们已经分析过，就是前面是否存在既是开集又是闭集的问题。
我们再来看交集的情形，有如下的命题。
| 命题2：如果B1与B2都是度量空间X中的开球，则B1∩B2是X的开集. |
证明：若B1∩B2=￠，则结论显然。
若B1∩B2≠￠，可任取x∈B1∩B2，由命题1，x是B1与B2的内点，故存在r1,r2，使得B1包含B（x,r1），B2包含B（x,r2）。这样取r是r1与r2的最小值，则有B1∩B2包含B（x,r），从而x也是B1∩B2的内点。由x的任意性，B1∩B2是开集。■
类似的证法可以推广到有限个开球的情形，有兴趣的读者不妨自己证一下下面的命题2’。
| 命题2’：如果B1,B2,…,Bn都是度量空间X中的开球，则B1∩B2∩…∩Bn是X的开集. |
一个自然的想法是能不能把这样的结论推广到无限个集合的交集，至少是可数个集合的交集的情形，但遗憾的是，这样的推广一般是不可能的。如果仿照命题2的证明的话，我们可以发现将得到无穷多个ri>0，但它们的下确界（就是第一讲中介绍的“最小值”）可能是0（在有限个开球的情形中，这样的最小值一定大于0）。
事实上，即使是在R中，我们也有如下的反例：
∩（-1/n,1/n）={0} （其中n取1,2,…）
说明一下这个等式是有意思的。首先，对任何n，有（-1/n,1/n）包含{0}，因此，左边包含右边。同时，对任何r≠0，总有充分大的N存在，使得（-1/N，1/N）不包含r，因此左边包含于右边。这样，两边的集合就是相等的，有兴趣的读者可以再考虑一下平面与高维的情形。
尽管度量空间X中任意个开球的交集未必一定是开集，但任意个开球的并集却必定是开集，因为我们只要任意取一个ri就可以了。即有：
| 命题3：如果Bi（i∈I）都是度量空间X中的开球，则∪（i∈I）Bi是X的开集. |
证明：任取x∈∪（i∈I）Bi，则对某i∈I，x∈Bi，故由命题1，存在r>0，使Bi包含B（x,r），从而∪（i∈I）Bi亦包含B（x,r）。■
在R^n中，为了积分的方便，常常用开方体来代替开球处理类似问题。下面以n=2的时候做一个简单的说明，此时的开方体就是指开矩形（a,b）×（c,d）（a<b,c<d）
事实上，我们有类似结论：
1.任何开方体都是开集。
2.任何有限个开方体的交集是开集。
3.任意多个开方体的并集是开集。
可以想象，如果仅仅是在R^n中讨论，很可能开方体将取代开球。事实上，它们同样是可行的，对此我们可以作一个事后诸葛亮式的说明：在任意开方体中都包含一个同心的圆。同时，开方体将更适合周围的逻辑环境，或者说我们运用起来会更加方便。当然，不排斥有某种外星人会使用开三角形作为基础，而这样的思想将进一步导出拓扑基的概念。
最后，我们要说明上述开球的交与并的性质是任何开集都具备的，我们按性质优先的法则把它提取出来，就得到所谓拓扑空间的概念。
| 定理 任何有限个开集的交集是开集， 任意多个开集的并集是开集. |
证明：利用开集的定义取开球，然后仿照相应开球的情形进行证明，细节略■
下面我们给出拓扑空间的定义，请读者思考它与上述定理的关系。
| 定义：设X是一个非空集合，若U是X的子集组成的一个集族，满足：
O1：￠、X∈U
O2：T1，…，Tn∈U→∩（i=1,…,n）Ti∈U
O3：Tα∈U，α∈I→∪（α∈I）Tα∈U
则称U是X上的一个拓扑，称（X，U）是一个拓扑空间，U中的集合称为开集. 公理T1-T3称为是开集公理.
|
（我们没有把O1-O3称为拓扑公理，是因为拓扑公理另有所指，它们刻画了介于了拓扑空间与距离空间之间的满足不同强度性质的空间，它们也是所谓点集拓扑中的基本内容。）
这里我们在更抽象的意义上看到了开集，也就是说只要满足上面的定义，不用考虑具体的距离空间，就可以直接在拓扑空间中得到开集。但如果已经得到距离空间，就可以直接诱导出相应的拓扑空间，比如定义其中的开集为若干开球的并。由此我们可知，拓扑空间是比距离空间更一般的一类空间。
我们已经知道任何一个集合上都可以定义开集，对于拓扑也是一样。事实上，我们有更进一步的结论。
| 命题4：任何非空集合X上都可以定义拓扑.如果X至少包括两个点，则至少可以定义两种不同的拓扑. |
证明：拓扑的定义可以通过确定其中的开集U而确定。至少可定义U1={￠，X}，U2={T；T是X的任一子集}，只要X包含至少两个点，则这样的U1与U2是不同的。■
上面定义的拓扑U1称为平庸拓扑，它是集合上定义的最弱拓扑，通常距离空间的开球都不是此拓扑下的开集（是否与命题1矛盾？）。而U2则称为是离散拓扑，它是集合上定义的最强拓扑，可以由离散度量来诱导（可以考虑半径为1/2的球）。
好了，至此我们已经从具体的欧氏空间达到了一般的拓扑空间。这些内容仅仅作为一个引导，主要是像展示一下从具体到抽象的过程，这样的过程在现代数学中的屡见不鲜的。就具体的知识而言，即使作为分析学的基础，也至少还要加上像连续、紧性、连通性、分离公理等基本概念。而专门的拓扑学则更是内容丰富，除了最基础的点集拓扑之外，还有使用代数语言刻画的代数拓扑、结合了分析方法的微分拓扑等等。这些都远不是一个科普作品所能包容的，还请有兴趣的读者去阅读专门的教材和著作。
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