西安市第八十九中学     马春红

课题：导数的概念及其几何意义

教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。

教学目标：

1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。

2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。

3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。

教学重点：

导数的概念以及导数的几何意义。

教学难点：

导数的概念以及导数的几何意义。

教学过程：

【复习回顾，创设情境】：

回顾什么是平均变化率？

情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是

怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？

情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，

当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山

势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？

情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过

程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为

。计算运动员在 这段时间内的平均速度，并思

考下面的问题：

【提出问题】：

问题1：你认为运动员在这段时间内是静止的吗？

问题2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

问题3：为了不断提高成绩，应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析，如何求运动员的瞬时速度？

问题4：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？

【解决问题】：

两人一微小组，四人一微大组，经过讨论，大家都得到运动员在这段时间内的平

均速度 为0，但是我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”，为什

么会产生这样的情况呢？平均速度只能够粗略的描述物体在某段时间的运动状

态，为了能够更精确的刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度，即瞬时

速度。分组进行：

第一二组：设计从左侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间 、

、 的平均速度 ，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速度？

第三四组：设计从右侧计算在2秒处平均速度的逼近值；计算在区间 、

、 的平均速度 ，说一说哪一个更接近于2秒时的瞬时速

度？

经过计算，在数值上，当 趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值-13.1，从物理的角度看，即该运动员的平均速度当随着时间间隔 无限变小，平均速度v就无限趋近于t=2时的瞬时速度。为了表述方便，我们引入一个符号： ，即就是 ，计算方法可以是，

运动员在 时刻的瞬时速度为：

 

 

 

 

当 时，瞬时速度的值是-13.1

【导数的概念】：设函数 ，当自变量x从x₀变到x₁时，函数值 从变到 ，函数值y关于x的平均变化率为： ，当x₁趋近于x₀时，即 趋近于0时，如果平均变化率趋近于一个固定值，那么这个值就是函数 在点x₀的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数 在点x₀的导数，通常用符号 表示，记作

【提出问题】：

问题1:运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？

问题2：函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示？

问题3：怎样理解“ 无限趋近于0”？ 与 的具体取值有关系吗？

问题4：怎么求一个函数在某个点处的导数值？

【解决问题】：

1、运动员在某一时刻的瞬时速度即 ；函数在某一点处的瞬时变化率即导数

2、 的值与 有关，对于不同 的值一般有不同的导数值 ，

与 的具体取值 无关， 可正可负，不可为0。是无限趋向于0。而 可以为0。

3、导数即瞬时变化率，同一概念的两个名称。

4、求函数在某点处的导数：一差、二化、三极限，可以带领学生计算圆的面积S随着

半径的变化而变化，随着半径增大而增大的快慢情况。

5、一般的，函数在某点处的导数值反映了函数在这点处的变化情况，从而也揭示了事

物在某一时刻的运动状况。前面吹气球问题，在气球膨胀到一定程度以后，瞬时变化

率变大，越来越难。登山过程中山势越陡峭，山坡的长度的变化率越大，登山越来越

难。

【数学文化】

导数的历史背景，17世纪诞生了微积分，微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类

经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布

尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学

史上的伟大地位。但是导数的起源可以追朔到更早的古希腊时期，它的主要起源还是

三个很古老的问题：光学问题中对于一般曲线的入射光是怎样反射的？如何确定曲线

运动的速度方向？如何来求两条相交的曲线所构成的夹角？而要解决这三个不同的问

题，归根结蒂却都是要解决同一个问题：那就是曲线的切线问题！

【提出问题】：

问题1：回到刚才的情境，在跳水问题中运动员的高度函数的图像是怎样的？函数 在 上的平均变化率是 ，你能说出它的几何意义吗？

问题2：当 变化时，直线如何变化？

问题3：当 时，直线又是如何变化的？

【解决问题】：

作出函数的图像，写出过曲线上任意两点的直线的斜率，交流讨论上面提出的问

题。

老师利用几何画板作出函数的图像，同学们观察变化情况，交流理解导数的几何

意义：

【几何画板作图】：

单击桌面左下角的【开始】按钮，选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后，

启动几何画板。

1、单击【绘图】定义坐标系；选中x轴；

2、单击【构造】对象上的点，选中原点和轴上的点；

3、单击【构造】射线，选中射线上的点；

4、单击【度量】横坐标，单击【数据】度量纵坐标；

5、单击【绘图】绘制点，选中该点及x轴上点单击【构造】轨迹，成图。

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函数 在 上的平均变化率是 ，它是过两点 的直线的斜率，这条直线称为割线。

切线的定义：设曲线C是函数 的图像，在曲线C上取一点 及临近一点 ，作割线PQ，当点Q沿着曲线无限逼近点P时，即 时如果割线有一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

【导数的几何意义】：函数 在x₀处的导数，是曲线 在点 处的切线的斜率。

【提出问题】：

问题1：圆的切线的定义还适合曲线的切线吗？曲线与切线一定只有一个交点吗？

问题2：割线与切线有什么关系？割线的斜率和切线的斜率怎么计算？有什么关系？

问题3：曲线的切线与切点的位置有关系吗？

问题4：怎样求曲线的切线方程？

【解决问题】：

1、对于割线PQ，它的斜率： 当 时割线斜率的极限值就是切线的斜率 观察过点P的切线PT，最贴近曲线 因此在P点附近，曲线 就可以用过点P的切线近似代替，这是微积分中的重要思想——以直代曲。

2、圆的切线的定义不再适合一般的曲线，通过逼近的方法，将割线趋近于的确定位置的直线定义为切线，并且交点可能不唯一，适用于各种曲线，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

3、曲线在某点处的切线与点的位置有关，要根据割线是否有极限来判断求解，曲线的切线未必与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个。

4、曲线在点 处的切线方程为

5、运动员在2秒时的速度就是曲线 在 时的切线的斜率，

其中负号说明什么呢？（留下悬念，埋下伏笔）

【典例分析】

已知函数 。

（1）  分别对 求 在区间 上的平均变化率，并画出过点 的相应割线；

（2）  求函数 在 处的导数，并画出曲线 在 点处的切线；

写出函数在点 处的切线的方程；

分析解答：

（1） ， ，

利用几何画板软件做出函数 的图像，画出相应的割线。

（2） ，曲线 在 点处的切线方程为

【板书】

课题：导数及其几何意义
一、导数的概念	二、导数的几何意义	三、典例分析

 

【归纳总结】本节课归纳学习了导数的概念以及认识导数的几何意义，关键词是：瞬时变化率、导数、割线、切线、斜率。

【布置作业】课本习题1,2,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

附：问题列表

问题的提出	问题的解决
问题1.1：你认为运动员在这段时间内是静止的吗？
问题1.2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
问题1.3：为了不断提高成绩，应对运动员在不同时刻的“瞬间”速度进行科学分析，如何求运动员的瞬时速度？
问题1.4：你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？
问题2.1:运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？
问题2.2：函数在某一的瞬时变化率可以怎样表示？
问题2.3：表示怎样理解“ 无限趋近于0”？ 与 的具体取值有关系吗？
问题2.4：怎么求一个函数在某个点处的导数值？
问题3.1：运动员的高度函数的图像是怎样的？函数 在 上的平均变化率 是 ，你能说出它的几何意义吗？
问题3.2：当 变化时，直线如何变化？
问题3.3：当 时，直线又是如何变化的？
问题4.1：圆的切线的定义还适合曲线的切线吗？曲线与切线一定只有一个交点吗？
问题4.2：割线与切线有什么关系？割线的斜率和切线的斜率怎么计算？有什么关系？
问题4.3：曲线的切线与切点的位置有关系吗？
问题4.4：怎样求曲线的切线方程？

参考文献：《中学数学教学参考》2017上旬1-2期；

           《中学数学》高中版2017年4月上。