课题：可线性化的回归分析

一、 本节课的地位

本节课是北师大版选修教材1-2第一章统计案例第一节回归分析的第三小节，内容为可线性化的回归分析，是在高一必修三统计一章中学习了两个变量的相关关系，会用散点图直观的判断两个变量是否线性相关，及用最小二乘法求线性回归方程的基础上，在本章第二小节研究了相关系数r之后的一节课,本节课的核心是学会如何对两个非线性相关的变量进行回归分析，学会利用Excel表处理数据的核心素养，发展学生的统计思维能力，提高学生的统计素养，让学生感受数学文化的应用价值，提高学生的小组合作学习能力和探究能力。

二、 学情分析

本节课针对的学生是高二年级文科学生，学生学习的积极性较高，但数学基础偏弱，特别是函数的有关知识相对较弱，虽然学生在必修三已经学习了用散点图判断两个变量的相关关系，学习了最小二乘法求两个变量的线性回归方程，但由于必修三学习的时间较长了，一部分学生会出现遗忘现象，学生的运算能力中等，由于本节课的核心是掌握非线性相关问题转化为线性相关问题，学生要具备函数的图像知识，具备指对数函数的转化能力，对一部分学生存在困难，因此本节课采用小组合作进行探究教学和实验教学，把信息技术融入课堂。

三、教学目标

知识与技能：1使学生会根据所给数据画出散点图，由散点图选择回归模型，能够利用相关系数r比较选择拟合函数的优劣。

            2.理解掌握指数型函数  和幂函数 非线性化的回归分析转化为线性化回归分析的模型。

  过程与方法：在分析和探讨如何对两个变量之间的非线性关系转化为线性关系的的探究过程中体会统计推理的严密性，进一步了解统计推理的基本方法和思想，发展统计思维能力。

过程与方法：通过对两个非线性相关关系的随机变量进行转化，化为线性关系处理两个变量之间的关系，树立数学模型的核心素养，认识和体会统计推理在解决实际问题中的作用，感知数学文化的广泛应用和数学的实际应用价值。

数学核心素养：本节课的内容涉及的数学核心素养有数学建模素养、散点图的直观性素养和数学推理能力素养及数据处理能力的核心素养。

四、教学的重难点

教学重点：指数型函数  和幂函数 非线性化转化为线性化回归分析的模型。

教学难点：根据散点图拟合函数模型和把非线性问题转化为线性问题的过程。

五、教学方法：小组合作探究式实验教学法。

六、教学用具：多媒体教学设施，PPT，Excel软件及学生用计算器和笔记本点电脑若干。

七、教学过程：

                  （一）温故知新、复习导入

1.  【老师】同学们回忆一下前面我们是如何讨论两个随机变量的相关关系的？

 【学生1】：我们可以利用所给的数据画散点图，再根据散点图直观的判断两个随机变量是否线性相关，如果是线性相关关系，利用最小二乘法求线性回归方程，然后对事物发展做出预测。

2.  【老师】回答的很准确，除了用散点图直观的观察两个变量是否是线性相关的，还有更严密的数学方法来判定两个变量的线性相关程度吗？

【学生2】：上一节课我们学习了相关系数r，可以利用相关系数r来判定两个变量的相关程度， ,|r|越大，相关性越强，|r|越小，相关性越弱，r>0正相关，r<0负相关。

3.  【老师】同学们回答的很到位，利用前面的方法我们只能够解决线性相关问题，对于非线性相关问题如何来解决呢？是我们本节课要解决的核心问题，我们一起来探讨一下下面的问题。

                           （二）激发兴趣、探究新知

1.老师出示问题;

1981-2001年我国出口贸易量（亿美元）数据，你能根据此表数据预测2008年我国出口贸易量吗？

年份	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987
出口贸易量/亿美元	220.1	223.2	222.3	261.4	273.5	309.4	394.4
年份	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994
出口贸易量/亿美元	475.2	525.4	620.9	719.1	849.4	917.7	1210.1
年份	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001
出口贸易量/亿美元	1487.8	1510.5	1827.9	1837.1	1949.3	2492.0	2661.0

要预测2008年我国的出口贸易量，首先应根据表中数据找到出口贸易量与年份之间的关系。

【老师】请各组同学利用Excel表画出表中数据对应的散点图，并判断两个变量是否线性相关。

【学生】上台利用Excel表插入散点图如下

 

【老师】同学们观察一下这个散点图，探讨它是否满足线性关系？

【学生3】这个散点图不是线性关系.

【老师】同学们思考一下它和我们学过的那个函数有关联呢？

学生讨论几分钟后得出结论。

【一部分】指数函数。

【一部分】二次函数

【老师】通过原始数据的散点图可以看出，图像近似的是一个指数函数，我们可以考虑                 

        来拟合数据的变化关系；但是还有一部分同学认为是二次函数，那我们不妨用             

          来拟合函数的变化关系。到底哪一个更好呢？我们分两组分别讨论两个模型，转化以后求它们的相关系数r，通过r的大小来判断到底哪一个更好一点。

【老师】同学们再思考讨论一下，如何把这个指数函数（或者二次函数）转化为一次线性函数的模型呢？

学生小组交流，讨论之后可以得出如下结论。

【学生4】我们可以给函数两边取对数，把指数搬下楼。

【老师】这个想法很好，取以谁为底的对数好呢，我们观察指数函数的底数为e，所以两边取自然对数最好，则问题就转化为 ,再令 , =c,则问题转化为u=c+bx，即化归到我们熟悉的线性回归问题上，可以利用最小二乘法进行计算，为了方便建立回归方程，我们把年份1981记为x=1，，x=2,………,则问题进一步转化为对（x,u=lny）作线性回归，其中y表示原始观测值，对原数据利用Excel软件变换后得到以下表格：

x	1	2	3	4	5	6	7
U	5.394	5.408	5.404	5.566	5.611	5.735	5.977
x	8	9	10	11	12	13	14
U	6.164	6.264	6.431	6.578	6.745	6.822	7.098
x	15	16	17	18	19	20	21
U	7.305	7.32	7.511	7.516	7.575	7.821	7.886

再利用Excel插入散点图，观察可得x与u线性相关，相关数据如下

, ,

, =3311, =923.5.

计算可得r=0.9965,线性相关性很强。求线性回归方程可得：c=506,b=0.138,即u=5.506+0.138x.由此可得： = ,

请预测2021年我国外贸出口额，23388.50637亿美元。

小结：1.在研究两个随机变量的关系时，首先根据所给的原始数据画出散点图，直观的观察他们是否线性相关，若相关，再计算相关系数r来进行检验。

    2.若由散点图判断两个变量是非线性相关的，则要进行变量的转换，化为线性相关问题求解。

                （三）分组合作、实验探究

请同学们讨论下面的问题：

一只红铃虫的产卵数y与温度x有关，，下表是产卵数与温度相对应的一组数据，试求y与x的回归方程，并预测当温度为 时红铃虫的产卵数。

温度x/	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个数	7	11	21	24	66	115	325

【老师】请同学们思考下列几个问题：根据所给的数据画出散点图，分组交流选取模型

1.  用线性回归模型 =bx+a研究问题，求出回归方程，预测温度为 时红铃虫的产卵数，并求出相关系数r的值。

2.  用二次函数模型 =a b研究问题，求出回归方程，预测温度为 时红铃虫的产卵数，并求出相关系数r的值。

3.  用指数函数模型 研究问题，求出回归方程，预测温度为 时红铃虫的产卵数，并求出相关系数r的值。

4. 用指数函数模型  研究问题，求出回归方程，预测温度为 时红铃虫的产卵数，并求出相关系数r的值。

【老师】下面请每一个组汇报自己的探究结果,把结果填入下面的表格

拟合函数	回归方程	预报变量x=28	相关系数r值	比较选择最优的结果
=bx+a
=a b

【老师】同学们，根据上面我们研究的结果和过程，请大家总结一下如何研究两个变量的相关关系？

                    （四）总结提炼、发展思维

小结讨论：对于非线性回归方程的求解步骤

1.  根据原始数据画出散点图

2.  根据散点图，选择恰当的函数模型进行拟合

3.  做恰当的变换，把问题转化为线性函数，用最小二乘法求线性回归方程。

4.  再通过相应的转换，把问题化归为非线性回归方程。

5.  在对对应的变量做预报变量（也可以求相应的相关系数r检验相关性的大小）。

下面是常见的非线性回归模型转化为线性回归模型，从而得到相应的回归模型。

                  

（五）自我检测、反馈提高

课堂反馈：

1.下列数据x，y符合哪一种函数模型(　　)

A．y＝2＋ x　　　 B．y＝2e^x           C．y＝2e         D．y＝2＋ln x

2.已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？

A.y＝3×2^x－1;        B.y＝log₂x；    C.y＝4x;    D.y＝x².

3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：

试建立y与x之间的回归方程．

（六）融会贯通、巩固加深

作业：1.某种产品的生产费用Y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到的数据如下：

检验产品的生产费用y与产品数量的倒数 之间是否具有线性相关关系？若有，求出y对x的回归方程．

X	1	2	3	5	10	20	30	50	100	200
Y	10.15	5.52	4.08	2.85	2.11	1.62	1.41	1.30	1.21	1.15

 

小组讨论：分四个大组讨论，画散点图，拟合函数模型，利用Excel验证，分别计算r值。