一、复习要点　　1．应用函数知识解应用题的方法步骤： 　　（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键．转化来源于对已知条件的归纳、综合、分析与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类；　　（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确立最佳解题方案，进行数学上的计算求解；　　（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．　　2．解函数应用问题常见的错误：　　（1）不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；　　（2）在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件．　　二、例题讲解　　例1　某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售．该地区政府每投资ｘ万元，所获利润为Ｐ＝－（1／160）（ｘ－40）２＋10万元．为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元．若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通．公路修通后该土特产品在异地销售，每投资ｘ万元，可获利润Ｑ＝－（159／160）（60－ｘ）２＋（119／2）（60－ｘ）万元．试问：从十年的总利润来看，该项目有无开发价值?讲解：若按原来投资环境不变，由题设知，每年只要从60万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润的最大值为Ｗ＝10×10＝100（万元）．若对该产品开发，则前5年中，当ｘ＝30时，Ｐｍａｘ＝（75／8），前5年的总利润为Ｗ１＝（75／8）×5＝（375／8）（万元）． 设后5年中，ｘ万元用于本地销售投资，60－ｘ万元用于异地销售投资，则总利润Ｗ２＝［－（1／160）（ｘ－40）２＋10］×5＋［－（159／160）ｘ２＋（119／2）ｘ］×5＝－5（ｘ－30）２＋4500．　从而当ｘ＝30时，Ｗ２的最大利润为4500万元．于是10年总利润的最大值为375／8＋4500万元．　∵　375／8＋4500＞100，　∴　该项目具有极大的开发价值．　例2　某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1．2万件、1．3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产量为1．37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由．　　讲解：根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1．37万件，哪种函数作为模拟函数就较好．故应先确定出这两个函数的具体解析式．　　设y１=f（x）=px２＋qx+r（p、q、r为常数，且p≠0），y２=g（x）=abx+c（a、b、c为常数）.由已知得
f（1）=1， g（1）=1，
f（2）=1.2， g（2）=1.2，
f（3）=1.3 g（3）=1.3.
即 p+q+r=1， 及 ab+c=1，
4p+2q+r=1.2， ab２＋c=1.2，
9p+3q+r＝1.3 ab３＋c=1.3.


解得　p=-0.05，q=0.35，r=0.7;a=-0.8，b=0.5，c=1.4.　　∴f（x）=-0.05x２＋0.35x+0.7，g（x）=-0.8×0．5x+1.4.　　∵f（4）=-0.05×4２＋0．35×4＋0．7＝1．3，　　　g（4）=-0.8×0．5４＋1．4＝1．35，　　∴g（4）更接近于1．37，故选用y=-0.8×0．5x＋1．4作为模拟函数较好．　　确定两种函数的解析式是解答本题的关键．　　例3　在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长．　　（1）试写出d关于v的分段函数式（其中S为常数）；　　（2）问应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q＝（1000v）／（d+S）最大?　　讲解：（1）本题是从实际生活中抽象出来的实际应用性问题，入手较容易．车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长（S米）的积的正比例函数，由此可建立如下数学模型：　　d=kv２Ｓ，　　　　①　　其中S为常量，v、d为变量，k为比例系数，是待定的常数．由题设知，当v=50千米/小时时，d=S.由此可确定k的值．　　由S＝k·50２·Ｓ，得k=1／2500.　　∴d=（1／2500）v２Ｓ．　　　　②　　为了交通安全，从实际出发，提出了一个限制条件“最小车距不得小于车身长的一半”，从而增加了题目的难度，也为“函数分段”提供了依据．　　由题意得　d=（1／2500）v２Ｓ≥（1／2）S，　　∴v２≥（2500／2），即v≥25 （千米/小时）

∴d= （1／2）S （v＜25 ），
（1／2500）v２Ｓ （v≥25 ）.

（2）当v＜25 时，　　Q=（1000v／d+S）=（1000v／（1／2）S+S=（2000v／3S）;　　当v≥25 时，　　Q=1000v／[（1／2500）v２Ｓ＋Ｓ]＝2500000／[（v+（2500／v））S].　　∴车流量Q与车速v的函数关系是
Q=

（2000v／3S） （v＜25 ），
[（2500000／（v+（2500／v））S] （v≥25 ）.

∵v+（2500／v）在［25 ，50］上是减函数，在［50，＋∞）上是增函数．　　∴当v=50时，（v+（2500／v））min=100，从而Qmax=（25000／S）.　　又当v＜25 时，Q=（2000v／3S）＜（2000×25 ／3S）＜（25000／S），　　∴当v=50千米/小时，车流量最大．　　三、专题训练　　1．将进货单价为80元的商品400个按90元一个售出时能全部卖完，已知这种商品每个涨价1元，其销售数就减少20个．为了赚得最大利润，售价应定为（　　）.　　A．每个110元　　B．每个105元　　C．每个100元　　D．每个95元　　2．某物体一天中的温度T是时间t的函数：T（t）=t３-3t+60，时间单位是小时，温度单位为℃，t=0表示12：00，其后t取值为正，则上午8时的温度为（　　）.　　A．8℃　　B．112℃　　C．58℃　　D．18℃　　3．在本埠投寄平信，每封信不超过20ｇ时付邮费0.60元，超过20ｇ而不超过40ｇ付邮费1.20元，依次类推，每增加20ｇ需增加邮费0.60元（信的重量在100ｇ以内）．如果某人所投寄一封信的重量为72.5ｇ，那么她应付邮费（　　）．Ａ．2.1元Ｂ．2元Ｃ．2．3元Ｄ．2．4元4．图2-5是某工厂8年来某种产品产量c与时间t（年）的函数关系，下面有四种说法：

　①前三年中产量增加的速度越来越快；　　②前三年中产量增长速度越来越慢；　　③第三年后，这种产品停止生产；　　④第三年后，产量保持不变．其中说法正确的是（　　）.　　A．②③　　B．②④　C．①③　　D．①④　　5．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲到公园的距离与乙到公园的距离都是2km．甲10时出发前往乙家，乙10时半从家中出发迎甲，图2-6表示甲从家出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系，其中甲在公园中休息的时间是10分钟，那么y=f（x）的函数表达式是_________.

6．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得几次测量分别得到a１，a２，…，an共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a１，a２，…，an推出的a=_________.　7．做一个容积为4ｍ３的圆柱形油桶，若两底材料600元／ｍ２，侧面材料300元／ｍ２，则最节省的材料费约为_________元（取 ＝1.5）． 　　8．某商品进货价每件50元，销售价每件x元，据市场调查，当50≤x≤80时，每天销售的件数为p=（10５／（x-40）２）．若想每天获得利润最大，销售价应确定为多少元?　　9．某食品专卖店为了弄清某食品的市场行情，进行了为期20天的调查，对每天的价格和销售量作好记录，将结果描在坐标平面上，可近似地得到价格（每件P元）与天数的关系如图2－7所示，销售量Q（百件）与天数的关系如图2－8（半圆）所示．

（1）求销售收入y（元）与天数（x）的函数关系式；　　（2）销售收入最高的大约是哪一天?此食品每件定价多少元最好?（精确到1元）　　10．华宇航天有限公司试制一种仅由金属A和金属B合成的合金，现已试制出这种合金400克，它的体积为50立方厘米．已知金属A的比重d小于每立方厘米9克，大于每立方厘米8．8克；金属B的比重约为每立方厘米7．2克．　　（1）试用d分别表示出此合金中金属A、金属B克数的函数关系式；　　（2）求已试制的合金中金属A、金属B的克数在什么范围内取值．