一、复习要点　在系统复习阶段，我们分别研究了函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值）和图象（画图、识图、用图），本轮复习的重点是函数图象和性质综合问题的解法.　　在函数的诸多性质中，单调性和最值是复习的重点，也是高考命题的频考点.函数的图象可以全面地反映函数的性质，而熟练掌握函数的性质有助于准确地画出函数的图象，从而自觉地养成应用数形结合的思想方法解题的习惯.　　二、例题讲解　　例1　设f（x）=（ax２＋1）／（bx+c）（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．　　（1）求函数f（x）的解析式；　　（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数；　　（3）作出函数y=f（x）的图象．　　讲解：（1）为了求a、b、c的值，可从逐步“翻译”题设条件入手．　　∵f（x）是奇函数，∴f（-x）≡-f（x），　　即（ax２＋1）／（－bx+c）≡-（ax２＋1）／（bx+c）　　 -bx+c≡-bx-c c=-c c=0．　　由f（1）=2，得（a+1）／b=2 2b=a+1.　　　　　　①　　又f（2）＜3 （4a+1）／（2b）＜3．　　　　　　②将①代入②，得　　（4a+1）／（a+1）＜3 （a-2）／（a+1）＜0 －1＜a＜2.　　∵a∈Z，∴a=0或a=1.　　当a=0时，由①得b=1／2 Z，舍去；　　当a=1时，b=1．　故f（x）=（x２＋1）／x.　　（2）利用单调函数的定义证明，略．　　（3）先确定函数的性质，再作图．　易知，函数f（x）=x+（1／x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且是奇函数．又|f（x）|=|x+（1／x）|=|x|+（1／x）≥2，　　∴函数f（x）的值域是　　 {y|y≤-2或y≥2}.　　由（2）知，f（x）在（0，1）上是减函数．同理可证，f（x）在［1，＋∞）上是增函数，再结合奇偶性，作出函数y=f（x）的图象如图2－2所示．
例2　设f（x）是定义在区间［－1，1］上的偶函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）３（a为实常数）．　（1）求函数f（x）的表达式；　　（2）是否存在a∈（2，6］或a∈（6，＋∞），使f（x）图象的最高点在直线y=12上？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．　　讲解：（1）由于函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，且函数g（x）的解析式为已知，所以可将函数f（x）用g（x）来表示，再根据f（x）为偶函数来确定其解析式．　　设（x，f（x））是f（x）图象上任意一点，则点（x，f（x））关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上．　　∴f（x）=g（2-x）.　　当x∈［－1，0］时，2-x∈［2，3］，则f（x）=g（2-x）=-2ax+4x３．　　又f（x）为偶函数，　　∴当x∈［0，1］时，f（x）=f（-x）=2ax-4x３．　　综上，得

（2）∵f（x）是偶函数，∴只需求f（x）在［0，1］上的最大值即可．　　当a∈（2，6］时，由0≤x≤1知，a-2x２＞0.

（2a）／9 .　　当且仅当4x２=a-2x２，即x= ∈［0，1］时，等号成立．　　∴f（x）的最大值为（2a）／9 .　　令（2a）／9 =12，得a３＝486＞6３，即a＞6．　　可见a （2，6］，此时a不存在．　　当a∈（6，＋∞）时，设0≤x１＜x２≤1，则　　f（x１）-f（x２）=…=（x１-x２）［2a-4（x１２＋x１x２+x２２）］．　　∵0＜x１２+x１x２+x２２＜3，a＞6，　　∴2a-4（x１２＋x１x２+x２２）＞0．　　又x１＜x２，∴f（x１）-f（x２）＜0．　　即f（x）在［0，1］上是增函数，从而f（x）的最大值为f（1）=2a-4.　　令2a-4=12，得a=8∈（6，＋∞），符合题意．例3在Ｒ上的递减函数ｆ（ｘ）满足：当且仅当ｘ∈Ｍ Ｒ＋时，函数值ｆ（ｘ）的集合为［0，2］，且ｆ（1／2）＝1；又对M中的任意ｘ１，ｘ２都有ｆ（ｘ１ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．（1）求证：（1／4）∈Ｍ，而（1／8）∈Ｍ；（2）证明：ｆ（ｘ）在M上的反函数ｆ－1（ｘ）满足关系ｆ－1（ｘ１）·ｆ－1（ｘ２）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）；（3）解不等式ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）（0≤ｘ≤2）．讲解：紧扣题意中的信息，不断进行解题语言的转换．（1）∵　1／2∈Ｍ，又1／4＝1／2×（1／2），ｆ（1／2）＝1，∴　ｆ（1／4）＝ｆ（（1／2）×（1／2）＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／2）＝2∈［0，2］，∴　1／4∈Ｍ．∵　ｆ（1／8）＝ｆ（（1／2）×（1／4））＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／4）＝3［0，2］，∴　（1／8）Ｍ．（2）∵　ｆ（ｘ）在M上是递减函数，∴　ｆ（ｘ）在M上有反函数ｆ－1（ｘ），且ｘ∈［0，2］．任取ｘ１，ｘ２∈［0，2］，设ｙ１＝ｆ－1（ｘ１），ｙ２＝ｆ－1（ｘ２），则ｘ１＝ｆ（ｙ１），ｘ２＝ｆ（ｙ２）．其中ｙ１，ｙ２∈Ｍ．∵　ｘ１＋ｘ２＝ｆ（ｙ１）＋ｆ（ｙ２）＝ｆ（ｙ１ｙ２），∴　ｙ１ｙ２＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２），故ｆ－1（ｘ１）ｆ－1（ｙ１）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）．（3）利用ｆ（ｘ）的递减转化求解不等式．∵　ｆ（ｘ）在M上递减，∴　ｆ－1（ｘ）在［0，2］上也是递减的．于是ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4） ｆ－1［（ｘ２＋ｘ）＋（ｘ＋2）］≤ｆ－1（2） ｆ－1（ｘ２＋2ｘ＋2）≤ｆ－1（2）

故原不等式的解集为｛0｝． 　　三、专题训练　　1．设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，对于任意的x∈R，有f（x+1）=（1-f（x））／（1+f（x））.当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f（5．5）的值是（）.　　A．1　　B．-1　　C．（1／2）　　D．-（1／2）2．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题：①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减．其中，正确的命题是（　　）．Ａ．①③Ｂ．①④Ｃ．②③Ｄ．②④　3．直线ｘ＝ｋ与ｙ＝ｌｏｇ５ｘ及ｙ＝ｌｏｇ５（ｘ＋4）的图象相交，两交点之间的距离为（1／2）．若ｋ＝ａ＋ ，这里ａ、ｂ均是整数，则ａ＋ｂ等于（　　）．Ａ．6Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．9　4．定义在Ｒ上的函数y=f（x－1）是单调递减函数（图2-3），给出四个结论：　①f（0）=1;②f（1）＜1；　③f－1（1）＝0；　④f－1（1／2）＞0．　其中正确结论的个数是（　　）．

A．1B．2C．3D．4 　　5．设x∈（-1，1），f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=-2lg（1+x），则10f（x）=________，10g（x）=________.　　6．已知函数f（x）=alg（2-ax）（a＞0，且a≠1）在其定义域［0，1］上单调递减，则实数a的取值范围是________．　　7．如图2-4所示，Rt△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（1，2）．在斜边OB上任取一点C（x，2x）（0＜x＜1），过C作CD⊥OA，CE⊥AB，垂足分别为D、E．记△OCD的面积为S１（x），矩形CDAE的面积为S２（x），△BCE的面积为S３（x），对于同一个x，用f（x）表示S１（x）、S２（x）、S３（x）三者中的最大值．当C点在线段OB内运动时，f（x）的最小值为________.

8．（1）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ），则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝（ａ＋ｂ）／2对称；　（2）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ＋ｘ）＝－ｆ（ｂ－ｘ），则ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于点（（ａ＋ｂ）／2，0）中心对称． 　　9．已知函数f（x）的定义域为R，且对一切实数x满足f（2+x）=f（2-x），f（7+x）=f（7-x）.　　（1）若f（5）=9，求f（-5）的值；　　（2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x-2）２.求当x∈［16，20］时函数g（x）=2x-f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值．　　10．设函数
f１（x）= 0　（x=0），
-（1／2）x　（4k-1≤|x|＜2×4k-1，k∈Z），
2x　（2×4k-1≤|x|≤4k，k∈Z）.

（1）求f１（x）的定义域；　　（2）y=f１（x）的图象绕坐标原点旋转π／2后，得到y=f２（x）的图象，试求y=f２（x）的解析式；　　（3）对定义在实数集R上的函数f（x），如果y=f（x）的图象绕坐标原点旋转π／2后不变，试证明方程f（x）=x恰好有一个解．